Найти вероятность того что на удачу взятое двузначное число окажется кратным трём либо кратным пяти либо тому другому одновременно

Для решения этой задачи будем искать вероятность того, что случайно выбранное двузначное число кратно 3 или 5. Для этого используем формулу вероятности:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

где:

• \( P(A) \) — вероятность того, что число кратно 3;
• \( P(B) \) — вероятность того, что число кратно 5;
• \( P(A \cap B) \) — вероятность того, что число кратно одновременно и 3, и 5.

Шаг 1: Определяем диапазон двузначных чисел

Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Общее количество двузначных чисел:

\[ 99 - 10 + 1 = 90 \]

Шаг 2: Находим количество чисел, кратных 3

Числа, кратные 3, начинаются с 12 (первое двузначное число кратное 3) и заканчиваются на 99. Для нахождения кратных 3 воспользуемся формулой:

\[ n = a + (k-1)d \] где \( a \) — первое число, \( d \) — шаг (в нашем случае 3), \( n \) — последнее число.

Чтобы найти количество членов арифметической прогрессии, решим уравнение:

\[ 12 + (k-1) \cdot 3 = 99 \] \[ (k-1) \cdot 3 = 99 - 12 \] \[ (k-1) \cdot 3 = 87 \] \[ k - 1 = \frac{87}{3} = 29 \] \[ k = 30 \]

Таким образом, чисел, кратных 3, 30.

Шаг 3: Находим количество чисел, кратных 5

Числа, кратные 5, начинаются с 10 (первое двузначное число кратное 5) и заканчиваются на 95. Аналогичным образом находим количество:

\[ 10 + (k-1) \cdot 5 = 95 \] \[ (k-1) \cdot 5 = 95 - 10 \] \[ (k-1) \cdot 5 = 85 \] \[ k - 1 = \frac{85}{5} = 17 \] \[ k = 18 \]

Итак, чисел, кратных 5, 18.

Шаг 4: Находим количество чисел, кратных 15

Далее нам нужно найти количество чисел, кратных и 3, и 5, то есть кратных 15:

Числа, кратные 15, начинаются с 15 и заканчиваются на 90:

\[ 15 + (k-1) \cdot 15 = 90 \] \[ (k-1) \cdot 15 = 90 - 15 \] \[ (k-1) \cdot 15 = 75 \] \[ k - 1 = 5 \] \[ k = 6 \]

Таким образом, чисел, кратных 15, 6.

Шаг 5: Применяем формулу вероятности

Теперь подставим всё в формулу:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A) = \frac{30}{90}, \quad P(B) = \frac{18}{90}, \quad P(A \cap B) = \frac{6}{90} \]

Теперь находим \( P(A \cup B) \):

\[ P(A \cup B) = \frac{30}{90} + \frac{18}{90} - \frac{6}{90} = \frac{30 + 18 - 6}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \]

Ответ

Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число окажется кратным 3 или 5, равна \(\frac{7}{15}\).