Для решения задачи о правильной треугольной призме начнем с определения необходимых характеристик призмы.
Шаг 1: Находим объём призмы
Объём ( V ) правильной треугольной призмы можно вычислить по формуле:
[
V = S_{осн} \cdot h
]
где:
- ( S_{осн} ) — площадь основания,
- ( h ) — высота призмы.
В данной задаче:
- Сторона основания ( a = 6 ) см,
- Высота призмы ( h = 12\sqrt{3} ) см.
Шаг 1.1: Находим площадь основания
Основание правильной треугольной призмы — это равносторонний треугольник, площадь которого можно найти по формуле:
[
S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Теперь подставим значение стороны ( a ):
[
S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Шаг 1.2: Находим объём
Теперь подставим площадь основания в формулу для объёма:
[
V = 9\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3}
]
Упрощаем:
[
V = 9 \cdot 12 \cdot 3 = 324 \text{ см}^3
]
Ответ:
Объём призмы ( V = 324 \text{ см}^3 ).
Шаг 2: Находим площадь полной поверхности призмы
Площадь полной поверхности ( S ) правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:
[
S = 2S_{осн} + S_{бок}
]
где ( S_{бок} ) — площадь боковой поверхности.
Шаг 2.1: Находим площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности определяется как периметр основания, умноженный на высоту призмы:
[
S_{бок} = P \cdot h
]
Периметр ( P ) равностороннего треугольника:
[
P = 3a = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}
]
Теперь подставим периметр и высоту в формулу:
[
S_{бок} = 18 \cdot 12\sqrt{3} = 216\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Шаг 2.2: Находим площадь полной поверхности
Теперь можем найти полную поверхность:
[
S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 216\sqrt{3}
]
Упрощаем:
[
S = 18\sqrt{3} + 216\sqrt{3} = 234\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Ответ:
Площадь полной поверхности призмы ( S = 234\sqrt{3} \text{ см}^2 ).
Таким образом, окончательные ответы:
- Объём призмы: ( 324 \text{ см}^3 )
- Площадь полной поверхности призмы: ( 234\sqrt{3} \text{ см}^2 )
