Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, высота призмы равна 12 корень из 3 см. Ответ: объём призмы равен CM' , площадь полной поверхности призмы равна V 3 см?.
Для решения задачи о правильной треугольной призме начнем с определения необходимых характеристик призмы.
Шаг 1: Находим объём призмы
Объём \( V \) правильной треугольной призмы можно вычислить по формуле:
\[ V = S_{осн} \cdot h \]
где:
- \( S_{осн} \) — площадь основания,
- \( h \) — высота призмы.
В данной задаче:
- Сторона основания \( a = 6 \) см,
- Высота призмы \( h = 12\sqrt{3} \) см.
Шаг 1.1: Находим площадь основания
Основание правильной треугольной призмы — это равносторонний треугольник, площадь которого можно найти по формуле:
\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
Теперь подставим значение стороны \( a \):
\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Шаг 1.2: Находим объём
Теперь подставим площадь основания в формулу для объёма:
\[ V = 9\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} \]
Упрощаем:
\[ V = 9 \cdot 12 \cdot 3 = 324 \text{ см}^3 \]
Ответ:
Объём призмы \( V = 324 \text{ см}^3 \).
Шаг 2: Находим площадь полной поверхности призмы
Площадь полной поверхности \( S \) правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:
\[ S = 2S_{осн} + S_{бок} \]
где \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности.
Шаг 2.1: Находим площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности определяется как периметр основания, умноженный на высоту призмы:
\[ S_{бок} = P \cdot h \]
Периметр \( P \) равностороннего треугольника:
\[ P = 3a = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см} \]
Теперь подставим периметр и высоту в формулу:
\[ S_{бок} = 18 \cdot 12\sqrt{3} = 216\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Шаг 2.2: Находим площадь полной поверхности
Теперь можем найти полную поверхность:
\[ S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 216\sqrt{3} \]
Упрощаем:
\[ S = 18\sqrt{3} + 216\sqrt{3} = 234\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Ответ:
Площадь полной поверхности призмы \( S = 234\sqrt{3} \text{ см}^2 \).
Таким образом, окончательные ответы:
- Объём призмы: \( 324 \text{ см}^3 \)
- Площадь полной поверхности призмы: \( 234\sqrt{3} \text{ см}^2 \)
