В треугольнике M N K MNK угол N N равен 9 0 ∘ 90 ∘ , sin K = 12 17 sinK= 17 12 , M K = 68 MK=68 . Найди M N MN .
Для начала давайте определим, что известно из условия задачи:
- В треугольнике \( \triangle MNK \) угол \( N = 90^\circ \), то есть треугольник прямоугольный.
- Значение \( \sin K = \frac{12}{17} \).
- Длина стороны \( MK = 68 \).
- Необходимо найти длину стороны \( MN \).
Поскольку угол \( N \) является прямым, можем использовать отношения тригонометрии в прямоугольном треугольнике.
Шаг 1: Нахождение длины стороны \( NK \)
Из определения синуса знаем, что
\[ \sin K = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}}. \]
В нашем случае:
- Противоположная сторона к углу \( K \) — это \( NK \),
- Гипотенуза — это \( MK \).
Подставим известные значения:
\[ \frac{NK}{MK} = \frac{12}{17}. \]
Подставив значение \( MK = 68 \):
\[ \frac{NK}{68} = \frac{12}{17}. \]
Теперь перемножим обе стороны уравнения на 68:
\[ NK = 68 \cdot \frac{12}{17}. \]
Шаг 2: Упростим \( NK \)
Сначала сократим:
\[ NK = 68 \cdot \frac{12}{17} = 4 \cdot 12 = 48. \]
Значит, \( NK = 48 \).
Шаг 3: Нахождение длины стороны \( MN \)
Теперь, когда у нас есть стороны треугольника \( NK \) и \( MK \), можно использовать теорему Пифагора для нахождения \( MN \):
\[ MN^2 + NK^2 = MK^2. \]
Подставляем известные значения:
\[ MN^2 + 48^2 = 68^2. \]
Теперь считаем квадрат сторон:
\[ MN^2 + 2304 = 4624. \]
Шаг 4: Найдем \( MN^2 \)
Вычтем \( 2304 \) из обеих сторон:
\[ MN^2 = 4624 - 2304 = 2320. \]
Шаг 5: Найдем \( MN \)
Теперь, чтобы найти \( MN \), вычислим корень:
\[ MN = \sqrt{2320}. \]
Упростим \( \sqrt{2320} \):
\[ 2320 = 16 \cdot 145. \]
Значит:
\[ MN = \sqrt{16 \cdot 145} = 4 \sqrt{145}. \]
Ответ
Длина стороны \( MN \) равна \( 4 \sqrt{145} \).
Таким образом, мы нашли значение искомой стороны треугольника \( MN \).
