Реши систему уравнений: { 3 x + 5 y = 14 , 7 x − 5 y = 16. { 3x+5y=14, 7x−5y=16.
Решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 3x + 5y = 14 \quad (1) \\ 7x - 5y = 16 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Сложим уравнения
Чтобы упростить решение, можем сложить уравнения (1) и (2).
\[ (3x + 5y) + (7x - 5y) = 14 + 16 \]
В результате получаем:
\[ 10x = 30 \]
Шаг 2: Найти значение \(x\)
Теперь найдём \(x\), поделив обе стороны уравнения на 10:
\[ x = \frac{30}{10} = 3 \]
Шаг 3: Подставим значение \(x\) в одно из уравнений
Подставим найденное значение \(x\) в уравнение (1):
\[ 3(3) + 5y = 14 \]
Это упростится до:
\[ 9 + 5y = 14 \]
Шаг 4: Найти значение \(y\)
Вычтем 9 из обеих сторон:
\[ 5y = 14 - 9 \] \[ 5y = 5 \]
Теперь делим обе стороны на 5:
\[ y = 1 \]
Шаг 5: Записываем окончательный ответ
Мы нашли значения \(x\) и \(y\):
\[ x = 3, \quad y = 1 \]
Проверка
Теперь давайте проверим, подходят ли найденные значения в оба уравнения.
- Подставляем в первое уравнение:
\[ 3(3) + 5(1) = 9 + 5 = 14 \quad \text{(верно)} \]
- Подставляем во второе уравнение:
\[ 7(3) - 5(1) = 21 - 5 = 16 \quad \text{(верно)} \]
Итог
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите разобраться в определённых местах подробнее, не стесняйтесь спрашивать!
