Чтобы определить, при каких значениях параметра ( a ) уравнение
[
(a - 1)x^2 - 6x + 8 = 0
]
имеет один корень, мы должны найти условия, при которых дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю. Это связано с тем, что уравнение имеет один корень, когда его дискриминант ( D ) равен 0.
Дискриминант квадратного уравнения ( Ax^2 + Bx + C = 0 ) определяется по формуле:
[
D = B^2 - 4AC
]
В нашем уравнении:
- ( A = a - 1 )
- ( B = -6 )
- ( C = 8 )
Подставим значения ( A ), ( B ) и ( C ) в формулу дискриминанта:
[
D = (-6)^2 - 4(a - 1)(8)
]
[
D = 36 - 32(a - 1)
]
[
D = 36 - 32a + 32
]
[
D = 68 - 32a
]
Теперь, чтобы уравнение имело один корень, необходимо, чтобы ( D = 0 ):
[
68 - 32a = 0
]
Решим это уравнение для ( a ):
[
32a = 68
]
[
a = \frac{68}{32} = \frac{17}{8}
]
Таким образом, ( a = \frac{17}{8} ) — это значение параметра, при котором уравнение ( (a - 1)x^2 - 6x + 8 = 0 ) имеет один корень.
Если же в задаче требуется найти сумму всех значений ( a ), которые соответствуют данному условию, так как здесь найдено только одно значение, то сумма будет равна:
[
\text{Сумма} = \frac{17}{8}
]
Таким образом, ответ: ( \frac{17}{8} ).
