Вероятность того, что Маша верно решит задачу по геометрии, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10 заданных. Ответ округлите до сотых
Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение. У нас есть 10 задач, которые Маша может решать, и вероятность успешного решения (верного ответа) для каждой задачи составляет 0,75. Нам необходимо найти вероятность того, что она верно решит не менее 6 задач.
1. Обозначим:
- \( n = 10 \) (общее количество задач),
- \( p = 0,75 \) (вероятность успешного решения задачи),
- \( k \) — количество задач, которые Маша решит верно.
2. Мы ищем вероятность того, что \( k \geq 6 \). Это можно записать как:
\[
P(k \geq 6) = P(k = 6) + P(k = 7) + P(k = 8) + P(k = 9) + P(k = 10)
\]
3. Для расчета каждого из этих значений воспользуемся формулой биномиального распределения:
\[
P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
\]
Где \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.
4. Теперь выполним все необходимые расчеты.
- **Для \( k = 6 \)**:
\[
C(10, 6) = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210
\]
\[
P(6) = 210 \cdot (0,75)^6 \cdot (0,25)^4
\]
\[
= 210 \cdot 0,17803125 \cdot 0,00390625 \approx 1,367
\]
- **Для \( k = 7 \)**:
\[
C(10, 7) = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120
\]
\[
P(7) = 120 \cdot (0,75)^7 \cdot (0,25)^3
\]
\[
\approx 120 \cdot 0,133483 \cdot 0,015625 \approx 0,249
\]
- **Для \( k = 8 \)**:
\[
C(10, 8) = 45
\]
\[
P(8) = 45 \cdot (0,75)^8 \cdot (0,25)^2
\]
\[
\approx 45 \cdot 0,100112 \cdot 0,0625 \approx 0,281
\]
- **Для \( k = 9 \)**:
\[
C(10, 9) = 10
\]
\[
P(9) = 10 \cdot (0,75)^9 \cdot (0,25)^1
\]
\[
= 10 \cdot 0,075 \cdot 0,25 \approx 0,1875
\]
- **Для \( k = 10 \)**:
\[
C(10, 10) = 1
\]
\[
P(10) = 1 \cdot (0,75)^{10} \cdot (0,25)^0 \approx 0,056
\]
5. Теперь суммируем все найденные вероятности:
\[
P(k \geq 6) = P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10) \approx 0,178 + 0,281 + 0,1875 + 0,055 + 0,056 = 0,7575
\]
6. Округляем результат до сотых:
\[
\text{Ответ: } P(k \geq 6) \approx 0.76
\]
Таким образом, вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10 заданных, составляет примерно 0,76.
