Вероятность того, что Маша верно решит задачу по геометрии, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10 заданных. Ответ округлите до сотых
Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение. У нас есть 10 задач, которые Маша может решать, и вероятность успешного решения (верного ответа) для каждой задачи составляет 0,75. Нам необходимо найти вероятность того, что она верно решит не менее 6 задач.
Обозначим:
- \( n = 10 \) (общее количество задач),
- \( p = 0,75 \) (вероятность успешного решения задачи),
- \( k \) — количество задач, которые Маша решит верно.
Мы ищем вероятность того, что \( k \geq 6 \). Это можно записать как: \[ P(k \geq 6) = P(k = 6) + P(k = 7) + P(k = 8) + P(k = 9) + P(k = 10) \]
Для расчета каждого из этих значений воспользуемся формулой биномиального распределения: \[ P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] Где \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.
Теперь выполним все необходимые расчеты.
Для \( k = 6 \): \[ C(10, 6) = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \] \[ P(6) = 210 \cdot (0,75)^6 \cdot (0,25)^4 \] \[ = 210 \cdot 0,17803125 \cdot 0,00390625 \approx 1,367 \]
Для \( k = 7 \): \[ C(10, 7) = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \] \[ P(7) = 120 \cdot (0,75)^7 \cdot (0,25)^3 \] \[ \approx 120 \cdot 0,133483 \cdot 0,015625 \approx 0,249 \]
Для \( k = 8 \): \[ C(10, 8) = 45 \] \[ P(8) = 45 \cdot (0,75)^8 \cdot (0,25)^2 \] \[ \approx 45 \cdot 0,100112 \cdot 0,0625 \approx 0,281 \]
Для \( k = 9 \): \[ C(10, 9) = 10 \] \[ P(9) = 10 \cdot (0,75)^9 \cdot (0,25)^1 \] \[ = 10 \cdot 0,075 \cdot 0,25 \approx 0,1875 \]
Для \( k = 10 \): \[ C(10, 10) = 1 \] \[ P(10) = 1 \cdot (0,75)^{10} \cdot (0,25)^0 \approx 0,056 \]
Теперь суммируем все найденные вероятности: \[ P(k \geq 6) = P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10) \approx 0,178 + 0,281 + 0,1875 + 0,055 + 0,056 = 0,7575 \]
Округляем результат до сотых: \[ \text{Ответ: } P(k \geq 6) \approx 0.76 \]
Таким образом, вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10 заданных, составляет примерно 0,76.
