Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45° . Найди высоту пирамиды, если стороны оснований пирамиды равны 3 и 7 .

Для решения задачи о нахождении высоты правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, давайте сначала разберёмся с её характеристиками и условиями.

Шаг 1: Определим параметры усечённой пирамиды

1. По условию задачи, у нас есть правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Это значит, что ее основания — квадраты.
2. Стороны оснований равны 3 и 7. Пусть основание с меньшей стороной (3) будет верхним основанием, а основание с большей стороной (7) — нижним основанием.

Шаг 2: Определим высоту пирамиды

Для нахождения высоты пирамиды, необходимо использовать геометрические свойства и тригонометрию.

1. Обозначим:

   • В — высота пирамиды.
   • r1 = 3 / 2 — радиус верхнего квадрата (расстояние от центра квадрата до его стороны).
   • r2 = 7 / 2 — радиус нижнего квадрата.

2. Поскольку боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°, мы можем заметить, что это боковое ребро, высота и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник.

Шаг 3: Определим длину бокового ребра

Теперь, зная, что угол между боковым ребром и проекцией на плоскость основания равен 45°, можем использовать свойства прямоугольного треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике с углом 45° у нас есть:

   • Противолежащий и прилежащий катеты равны.
   • Таким образом, длина проекции P (разницу между r2 и r1) будет равна высоте В.

2. Проекция P = r2 - r1 = (7/2) - (3/2) = 2.

Шаг 4: Найдем высоту В

Поскольку угол наклона 45°, мы знаем, что:

\[ В = P \]

Таким образом, высота усечённой пирамиды В равна 2.

Ответ:

Высота правильной усечённой четырёхугольной пирамиды составляет 2 единицы.