\[ R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Давайте разберем вашу задачу по шагам, чтобы понять, как мы пришли к приведенному результату.

Исходное выражение

Выражение, с которым мы работаем, выглядит следующим образом: \[ R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} \]

Шаг 1: Подставляем значение синуса

Сначала нам нужно вычислить значение \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\). Из тригонометрии известно, что: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим это значение в наше выражение: \[ R = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Шаг 2: Упрощаем выражение

Теперь мы можем упростить дробь: \[ R = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} \]

В этой части мы видим, что \(2\) в числителе и знаменателе сокращается, и остается только \(\sqrt{2}\) в знаменателе.

Шаг 3: Умножаем на сопряженное выражение

Для более удобного вида выражения, мы можем умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \[ R = \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, мы представили \(R\) в удобном виде.

Итоговое выражение

Итак, в результате, мы получили: \[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Заключение

Выводя итог, мы рассмотрели основные шаги для упрощения функции \(R\), используя свойства тригонометрии и операции с дробями. Если у вас остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!