Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45°. найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Для решения задачи о нахождении площади боковой поверхности пирамиды с основанием в виде треугольника, следуем пошагово. ### Шаг 1: Найти площадь основания треугольника Дано основание — треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Это равнобедренный треугольник, где две стороны равны (по 10 см), а основание — 12 см. Чтобы найти площадь треугольника, применим формулу: \[ \text{Площадь} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] где \( s \) — полупериметр, \( a, b, c \) — стороны треугольника. ### Шаг 2: Рассчитаем полупериметр Сначала найдем полупериметр \( s \): \[ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16 \text{ см} \] ### Шаг 3: Подставляем значения в формулу площади Теперь вычислим площадь \( S \): \[ S = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} \] \[ = \sqrt{16 \cdot 144} = \sqrt{2304} = 48 \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь основания равна \( 48 \text{ см}^2 \). ### Шаг 4: Найти высоту боковой грани Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Для нахождения высоты боковой грани можно использовать свойства треугольника. Так как угол между боковой гранью и основанием равен 45°, высота боковой грани будет равна длине отрезка, наклоненного к основанию. Сначала найдем высоту от вершины пирамиды до основания: Так как основание — равнобедренный треугольник, высота проведенная из вершины \( V \) (пика пирамиды) будет пересекать основание в его центре. Высота \( h \) боковой грани будет равна удвоенной высоте треугольника. ### Шаг 5: Найдем высоту треугольника Высота \( h_t \) равнобедренного треугольника можно найти по формуле: \[ h_t = \frac{\sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}}{2} \] где \( a = 10 \) см (равные стороны), \( b = 12 \) см (основание). Подставим значения: \[ h_t = \sqrt{10^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \] ### Шаг 6: Найдем длину боковой грани Так как каждая боковая грань наклонена под углом 45°, длину боковой грани \( l \) можно найти: \[ h = l \cdot \sin(45°) \Rightarrow l = \frac{h}{\sin(45°)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{2} \text{ см} \] ### Шаг 7: Рассчитаем площадь одной боковой грани Площадь одной боковой грани треугольной формы можно вычислить по формуле: \[ S_b = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \] где \( b \) — это сторона основания боковой грани, равная 10 см, и высота \( h \) — 8 см. Следовательно: \[ S_b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8\sqrt{2} = 40\sqrt{2} \text{ см}^2 \] ### Шаг 8: Найти общую площадь боковой поверхности пирамиды Поскольку боковых граней 3 (по числу сторон основания), общая площадь боковой поверхности будет: \[ S_{\text{бок}} = 3 \cdot S_b = 3 \cdot 40\sqrt{2} = 120\sqrt{2} \text{ см}^2 \] ### Ответ Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет \( 120\sqrt{2} \) см².