На пригородной станции вокзала работают два автомата по продаже билетов. Вероятность того, что к концу дня в одном автомате закончится лента для печати билетов, равна 0,25.…

Для решения данной задачи будем использовать понятие вероятности для событий, связанных с автоматами по продаже билетов.

Обозначим события:

• \( A \): лента закончилась в первом автомате.
• \( B \): лента закончилась во втором автомате.

Из условия задачи знаем:

• \( P(A) = 0,25 \) (вероятность, что в первом автомате закончится лента).
• \( P(A \cap B) = 0,08 \) (вероятность, что в обоих автоматах лента закончится).

а) Найдем вероятность того, что лента закончится хотя бы в одном автомате.

Событие "лента закончится хотя бы в одном автомате" можно выразить через дополнение к событию, что в обоих автоматах лента осталась. В этом случае, нужная нам вероятностьстрана будет равна:

\[ P(A \cup B) = 1 - P(\text{лента осталась в обоих автоматах}) \]

Чтобы найти \( P(\text{лента осталась в обоих автоматах}) \), используем правило вероятности для событий \( A \) и \( B \):

\[ P(\text{лента осталась в обоих автоматах}) = P(A^c) \cdot P(B^c) \]

Где \( P(A^c) \) — это вероятность, что в первом автомате лента не закончилась:

\[ P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,25 = 0,75 \]

Теперь нам нужно найти \( P(B) \), вероятность того, что лента закончилась во втором автомате. Используем формулу полной вероятности:

\[ P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A) + P(B \mid A^c) \cdot P(A^c) \]

Для упрощения, мы можем воспользоваться формулой для нахождения полной вероятности на основе \( P(A) \) и \( P(B) \):

\[ P(B) = P(B^c) + P(B \mid A) \cdot P(A) \]

Так как вероятность того, что лента закончится в обоих автоматах,\( P(A \cap B) \):

\[ P(B) = P(A \cap B) + P(A^c) = 0,08 + 0,75 \]

Найдем вероятность того, что лента осталась в обоих автоматах:

\[ P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \cdot P(B^c) = 0,75 \cdot (1 - 0,08 - P(A^c)) = 0,75 \cdot (0,25) = 0,1875 \]

Таким образом, мы можем найти \( P(A \cup B) \):

\[ P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - 0,1875 = 0,8125 \]

Ответ (а):

Таким образом, вероятность того, что лента закончится хотя бы в одном автомате:

\[ P(A \cup B) = 0,8125 \]

б) Найдем вероятность того, что лента останется в обоих автоматах, и пассажир сможет купить билет.

Вероятность того, что лента останется в обоих автоматах, записывается как:

\[ P(A^c \cap B^c) \]

Мы уже обсудили, что вероятность, что лента закончится хотя бы в одном автомате, дополнительно касается тех случаев, когда лента осталась:

\[ P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,8125 = 0,1875 \]

Ответ (б):

Вероятность того, что лента останется в обоих автоматах, и пассажир сможет купить билет:

\[ P(A^c \cap B^c) = 0,1875 \]

Теперь мы получили ответы на оба пункта задачи.