На пригородной станции вокзала работают два автомата по продаже билетов. Вероятность того, что к концу дня в одном автомате закончится лента для печати билетов, равна 0,25. Вероятность того, что лента закончится в обоих автоматах, равна 0,08. Найдите вероятность того, что к концу дня: а) лента закончится хотя бы в одном автомате (14 баллов); б) лента останется в обоих автоматах, и пассажир сможет купить билет (10 баллов).

Для решения данной задачи будем использовать понятие вероятности для событий, связанных с автоматами по продаже билетов. Обозначим события: - \( A \): лента закончилась в первом автомате. - \( B \): лента закончилась во втором автомате. Из условия задачи знаем: - \( P(A) = 0,25 \) (вероятность, что в первом автомате закончится лента). - \( P(A \cap B) = 0,08 \) (вероятность, что в обоих автоматах лента закончится). ### а) Найдем вероятность того, что лента закончится хотя бы в одном автомате. Событие "лента закончится хотя бы в одном автомате" можно выразить через дополнение к событию, что в обоих автоматах лента осталась. В этом случае, нужная нам вероятностьстрана будет равна: \[ P(A \cup B) = 1 - P(\text{лента осталась в обоих автоматах}) \] Чтобы найти \( P(\text{лента осталась в обоих автоматах}) \), используем правило вероятности для событий \( A \) и \( B \): \[ P(\text{лента осталась в обоих автоматах}) = P(A^c) \cdot P(B^c) \] Где \( P(A^c) \) — это вероятность, что в первом автомате лента не закончилась: \[ P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,25 = 0,75 \] Теперь нам нужно найти \( P(B) \), вероятность того, что лента закончилась во втором автомате. Используем формулу полной вероятности: \[ P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A) + P(B \mid A^c) \cdot P(A^c) \] Для упрощения, мы можем воспользоваться формулой для нахождения полной вероятности на основе \( P(A) \) и \( P(B) \): \[ P(B) = P(B^c) + P(B \mid A) \cdot P(A) \] Так как вероятность того, что лента закончится в обоих автоматах,\( P(A \cap B) \): \[ P(B) = P(A \cap B) + P(A^c) = 0,08 + 0,75 \] Найдем вероятность того, что лента осталась в обоих автоматах: \[ P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \cdot P(B^c) = 0,75 \cdot (1 - 0,08 - P(A^c)) = 0,75 \cdot (0,25) = 0,1875 \] Таким образом, мы можем найти \( P(A \cup B) \): \[ P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - 0,1875 = 0,8125 \] ### Ответ (а): Таким образом, вероятность того, что лента закончится хотя бы в одном автомате: \[ P(A \cup B) = 0,8125 \] --- ### б) Найдем вероятность того, что лента останется в обоих автоматах, и пассажир сможет купить билет. Вероятность того, что лента останется в обоих автоматах, записывается как: \[ P(A^c \cap B^c) \] Мы уже обсудили, что вероятность, что лента закончится хотя бы в одном автомате, дополнительно касается тех случаев, когда лента осталась: \[ P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,8125 = 0,1875 \] ### Ответ (б): Вероятность того, что лента останется в обоих автоматах, и пассажир сможет купить билет: \[ P(A^c \cap B^c) = 0,1875 \] Теперь мы получили ответы на оба пункта задачи.