Найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии если b2=63,b3=189

Давайте разберёмся с задачей по нахождению суммы первых четырёх членов геометрической прогрессии, зная, что \( b_2 = 63 \) и \( b_3 = 189 \).

Шаг 1: Определение членов прогрессии

В геометрической прогрессии каждый следующий член определяется умножением предыдущего члена на одно и то же число (первый член в данном случае обозначим как \( b_1 \), а общее число, на которое умножаем, — как \( q \)):

• \( b_1 = b_1 \)
• \( b_2 = b_1 \cdot q \)
• \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \)
• \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \)

Из условия задачи нам даны:

• \( b_2 = b_1 \cdot q = 63 \)
• \( b_3 = b_1 \cdot q^2 = 189 \)

Шаг 2: Нахождение значения q

Мы можем выразить \( q \) через \( b_2 \) и \( b_3 \): \[ b_3 = q \cdot b_2 \] Подставим наши значения: \[ 189 = q \cdot 63 \]

Теперь можно найти \( q \): \[ q = \frac{189}{63} = 3 \]

Шаг 3: Нахождение значения b1

Теперь, зная \( q \), можем найти \( b_1 \): \[ b_2 = b_1 \cdot q \] Подставим известные значения: \[ 63 = b_1 \cdot 3 \]

Теперь решим это уравнение на \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{63}{3} = 21 \]

Теперь у нас есть:

• \( b_1 = 21 \)
• \( q = 3 \)

Шаг 4: Нахождение первых четырех членов

Теперь мы можем определить первые четыре члена прогрессии:

• \( b_1 = 21 \)
• \( b_2 = 21 \cdot 3 = 63 \)
• \( b_3 = 21 \cdot 3^2 = 189 \)
• \( b_4 = 21 \cdot 3^3 = 21 \cdot 27 = 567 \)

Шаг 5: Нахождение суммы первых четырех членов

Сумма первых четырёх членов: \[ S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 \] Подставим наши значения: \[ S_4 = 21 + 63 + 189 + 567 \]

Теперь посчитаем: \[ S_4 = 21 + 63 = 84 \] \[ S_4 += 189 = 273 \] \[ S_4 += 567 = 840 \]

Ответ

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна \( 840 \).