Построй граф, в котором 8 вершин: три из них изолированные, а каждая из оставшихся вершин соединена с четырьмя другими. Сколько рёбер в этом графе?

Чтобы решить задачу о построении графа с 8 вершинами, давайте разберём заданные условия. 1. **Вершины:** У нас есть 8 вершин, среди которых три изолированы. Это значит, что они не соединены ни с одной другой вершиной. 2. **Связанные вершины:** Оставшиеся 5 вершин должны быть соединены по следующим условиям: каждая из них соединена с 4 другими вершинами. Теперь давайте подробнее проанализируем, как это может выглядеть: - Из 8 вершин мы выделяем 3 изолированные. Следовательно, у нас остаются 5 вершин, которые будут соединены друг с другом. - Каждая из 5 связанных вершин (обозначим их A, B, C, D, E) должна быть соединена с 4 другими вершинами. Однако так как у нас только 5 вершин в этой группе, то каждая из них будет соединена со всеми остальными. Теперь давайте посчитаем количество рёбер в графе: - Вершина A соединена с B, C, D и E — 4 рёбра. - Вершина B соединена с A, C, D и E — 4 рёбра, но мы уже учли связь B с A (поэтому добавляем только новые рёбра B с C, D, E, что составляет 3). - Вершина C соединена с A, B, D и E — она добавляет 2 новых рёбра (C с D и E). - Вершина D соединена с A, B, C и E — добавляет 1 новое ребро (D с E). - Вершина E соединена со всеми, и мы уже учли все связи в предыдущих подсчетах. Теперь давайте подведем итог по количеству рёбер: - Вершина A соединена с 4; - Вершина B соединена с 3 новыми; - Вершина C соединена с 2 новыми; - Вершина D соединена с 1 новым; - Вершина E соединена ни с кем новым. Суммировав: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 рёбер. Однако, поскольку мы считаем каждое ребро дважды (один раз для каждой из его двух вершин), нам нужно разделить это на 2: \[ \text{Общее количество рёбер} = \frac{10}{2} = 5. \] Таким образом, общее количество рёбер в графе составит **10**.