Построй граф, в котором 8 вершин: три из них изолированные, а каждая из оставшихся вершин соединена с четырьмя другими. Сколько рёбер в этом графе?

Чтобы решить задачу о построении графа с 8 вершинами, давайте разберём заданные условия.

1. Вершины: У нас есть 8 вершин, среди которых три изолированы. Это значит, что они не соединены ни с одной другой вершиной.

2. Связанные вершины: Оставшиеся 5 вершин должны быть соединены по следующим условиям: каждая из них соединена с 4 другими вершинами.

Теперь давайте подробнее проанализируем, как это может выглядеть:

• Из 8 вершин мы выделяем 3 изолированные. Следовательно, у нас остаются 5 вершин, которые будут соединены друг с другом.

• Каждая из 5 связанных вершин (обозначим их A, B, C, D, E) должна быть соединена с 4 другими вершинами. Однако так как у нас только 5 вершин в этой группе, то каждая из них будет соединена со всеми остальными.

Теперь давайте посчитаем количество рёбер в графе:

• Вершина A соединена с B, C, D и E — 4 рёбра.
• Вершина B соединена с A, C, D и E — 4 рёбра, но мы уже учли связь B с A (поэтому добавляем только новые рёбра B с C, D, E, что составляет 3).
• Вершина C соединена с A, B, D и E — она добавляет 2 новых рёбра (C с D и E).
• Вершина D соединена с A, B, C и E — добавляет 1 новое ребро (D с E).
• Вершина E соединена со всеми, и мы уже учли все связи в предыдущих подсчетах.

Теперь давайте подведем итог по количеству рёбер:

• Вершина A соединена с 4;
• Вершина B соединена с 3 новыми;
• Вершина C соединена с 2 новыми;
• Вершина D соединена с 1 новым;
• Вершина E соединена ни с кем новым.

Суммировав: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 рёбер.

Однако, поскольку мы считаем каждое ребро дважды (один раз для каждой из его двух вершин), нам нужно разделить это на 2:

\[ \text{Общее количество рёбер} = \frac{10}{2} = 5. \]

Таким образом, общее количество рёбер в графе составит 10.