3. Проводится серия независимых испытаний Бернулли, состоящая из шести испытаний. Сколько элементарных событий благоприятствует наступлению одного, двух или шести успехов?

Для решения задачи мы будем использовать понятие биномиального распределения, а именно формулу для вычисления количества благоприятствующих исходов при испытаниях Бернулли.

Параметры задачи:

• Число испытаний (n): 6
• Количество успехов (k): 1, 2 или 6

Формула биномиального коэффициента

Чтобы найти количество благоприятствующих исходов, нам понадобится биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) — факториал числа \( n \), то есть произведение всех целых чисел от 1 до \( n \).

Шаги решения:

1. Найдем количество элементарных событий для 1 успеха (k = 1): \[ C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6 \times 5!}{1 \times 5!} = \frac{6}{1} = 6 \]

2. Найдем количество элементарных событий для 2 успехов (k = 2): \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15 \]

3. Найдем количество элементарных событий для 6 успехов (k = 6): \[ C(6, 6) = \frac{6!}{6!(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{1}{1} = 1 \]

Суммируем благоприятные исходы

Теперь сложим все найденные количества благоприятных исходов:

• Количество благоприятствующих событий для 1 успеха: 6
• Количество благоприятствующих событий для 2 успехов: 15
• Количество благоприятствующих событий для 6 успехов: 1

Общее количество элементарных событий:

\[ 6 + 15 + 1 = 22 \]

Ответ

Количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению одного, двух или шести успехов, равно 22.