Найди сумму первых 6 членов геометрической прогрессии с первым сленом , равным 8 и знаменателем , равным 1/2
Чтобы найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии (ГП) с первым членом \( a = 8 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{2} \), мы будем использовать формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
где:
- \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
- \( a \) — первый член,
- \( q \) — знаменатель,
- \( n \) — количество членов.
В нашем случае:
- \( a = 8 \)
- \( q = \frac{1}{2} \)
- \( n = 6 \)
Теперь подставим эти значения в формулу:
Сначала вычислим \( q^n = \left( \frac{1}{2} \right)^6 \): \[ \left( \frac{1}{2} \right)^6 = \frac{1}{64} \]
Теперь подставим \( q^n \) в формулу суммы: \[ S_6 = 8 \frac{1 - \frac{1}{64}}{1 - \frac{1}{2}} \]
Посчитаем \( 1 - \frac{1}{64} \): \[ 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} \]
Посчитаем \( 1 - \frac{1}{2} \): \[ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим всё в формулу: \[ S_6 = 8 \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 \]
Упростим это выражение: \[ S_6 = 8 \cdot \frac{63 \cdot 2}{64} = 8 \cdot \frac{126}{64} \]
Дальше упростим: \[ S_6 = 8 \cdot \frac{126}{64} = \frac{1008}{64} \]
Разделим числитель и знаменатель на 16: \[ S_6 = \frac{63}{4} \]
Если нужно, можем перевести в десятичную дробь: \[ S_6 = 15.75 \]
Таким образом, сумма первых 6 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 8 и знаменателем, равным \( \frac{1}{2} \), составляет \( S_6 = \frac{63}{4} \) или \( 15.75 \).
