Найди сумму первых 6 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 8 и знаменателем, равным 1/2.

Чтобы найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, нужно воспользоваться формулой суммы членoв геометрической прогрессии.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] где:

• \( S_n \) - сумма первых n членов,
• \( a_1 \) - первый член прогрессии,
• \( q \) - знаменатель,
• \( n \) - количество членов.

В нашем случае:

• \( a_1 = 8 \) (первый член),
• \( q = \frac{1}{2} \) (знаменатель),
• \( n = 6 \) (количество членов).

Теперь подставим эти значения в формулу:

1. Сначала рассчитаем \( q^n = \left(\frac{1}{2}\right)^6 \): \[ q^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \]

2. Теперь подставим все в формулу: \[ S_6 = 8 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{1 - \frac{1}{2}} \]

3. Сначала рассчитаем числитель: \[ 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} \]

4. Теперь рассчитаем знаменатель: \[ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

5. Подставляем это обратно в формулу: \[ S_6 = 8 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} \]

6. Деление на дробь - это умножение на ее обратную: \[ \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Поэтому: \[ S_6 = 8 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = 16 \cdot \frac{63}{64} \]

7. Упростим это: \[ S_6 = \frac{16 \cdot 63}{64} = \frac{1008}{64} \]

8. Упростим дробь: \[ \frac{1008}{64} = \frac{63}{4} \]

Таким образом, сумма первых 6 членов геометрической прогрессии с первым членом 8 и знаменателем \( \frac{1}{2} \) равна: \[ \frac{63}{4} \text{ или } 15.75. \]

Ответ: Сумма первых 6 членов геометрической прогрессии равна \( 15.75 \).