В геометрической прогрессии сумма первого и второго члена равна 108, а сумма второго и третьего члена равна 135. Найди первые три члена этой прогрессии b1 =?, b2=? , b3=?
Чтобы решить задачу о нахождении первых трех членов геометрической прогрессии, воспользуемся данными, которые нам даны:
- Сумма первого и второго членов равна 108.
- Сумма второго и третьего членов равна 135.
Обозначим первый член прогрессии как \(b_1\), второй как \(b_2\), и третий как \(b_3\). Поскольку это геометрическая прогрессия, мы можем выразить второй и третий члены через первый:
- \(b_2 = b_1 \cdot r\),
- \(b_3 = b_1 \cdot r^2\),
где \(r\) — это знаменатель прогрессии.
Шаг 1: Запись уравнений
Исходя из условий задачи, можем составить два уравнения:
- \(b_1 + b_2 = 108\)
- \(b_2 + b_3 = 135\)
Шаг 2: Подстановка значений
Подставим \(b_2\) и \(b_3\) через \(b_1\) и \(r\):
- \(b_1 + b_1 \cdot r = 108\)
- \(b_1 \cdot r + b_1 \cdot r^2 = 135\)
Первое уравнение преобразуем:
\[ b_1 (1 + r) = 108 \] \[ b_1 = \frac{108}{1 + r} \tag{1} \]
Теперь подставим \(b_2 = b_1 \cdot r = \frac{108r}{1 + r}\) и \(b_3 = b_1 \cdot r^2 = \frac{108r^2}{1 + r}\) во второе уравнение:
\[ \frac{108r}{1 + r} + \frac{108r^2}{1 + r} = 135 \] Поскольку общим знаменателем здесь является \(1 + r\), можем упростить уравнение:
\[ \frac{108r(1 + r)}{1 + r} = 135 \] Умножаем обе стороны на \(1 + r\):
\[ 108r + 108r^2 = 135(1 + r) \] Раскрываем скобки:
\[ 108r + 108r^2 = 135 + 135r \] Переносим все в одну сторону:
\[ 108r^2 + 108r - 135r - 135 = 0 \] \[ 108r^2 - 27r - 135 = 0 \]
Шаг 3: Упрощение уравнения
Это квадратное уравнение можно упростить, разделив каждое значение на 9:
\[ 12r^2 - 3r - 15 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь можем использовать дискриминант для нахождения корней:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-15) = 9 + 720 = 729 \]
Находим корни:
\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 27}{24} \] \[ r_1 = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}, \quad r_2 = \frac{-24}{24} = -1 \quad \text{(отбрасываем, так как r должно быть положительным)} \]
Шаг 5: Находим \(b_1\)
Подставляем \(r = \frac{5}{4}\) в уравнение (1):
\[ b_1 = \frac{108}{1 + \frac{5}{4}} = \frac{108}{\frac{9}{4}} = 108 \cdot \frac{4}{9} = 48 \]
Теперь можем найти \(b_2\) и \(b_3\):
\[ b_2 = b_1 \cdot r = 48 \cdot \frac{5}{4} = 60 \] \[ b_3 = b_1 \cdot r^2 = 48 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^2 = 48 \cdot \frac{25}{16} = 75 \]
Ответ
Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии:
- \(b_1 = 48\)
- \(b_2 = 60\)
- \(b_3 = 75\)
Таким образом, первые три члена прогрессии равны 48, 60 и 75.
