В геометрической прогрессии сумма первого и второго члена равна 108, а сумма второго и третьего члена равна 135. Найди первые три члена этой прогрессии b1 =?, b2=? , b3=?

Чтобы решить задачу о нахождении первых трех членов геометрической прогрессии, воспользуемся данными, которые нам даны: 1. Сумма первого и второго членов равна 108. 2. Сумма второго и третьего членов равна 135. Обозначим первый член прогрессии как \(b_1\), второй как \(b_2\), и третий как \(b_3\). Поскольку это геометрическая прогрессия, мы можем выразить второй и третий члены через первый: - \(b_2 = b_1 \cdot r\), - \(b_3 = b_1 \cdot r^2\), где \(r\) — это знаменатель прогрессии. ### Шаг 1: Запись уравнений Исходя из условий задачи, можем составить два уравнения: 1. \(b_1 + b_2 = 108\) 2. \(b_2 + b_3 = 135\) ### Шаг 2: Подстановка значений Подставим \(b_2\) и \(b_3\) через \(b_1\) и \(r\): 1. \(b_1 + b_1 \cdot r = 108\) 2. \(b_1 \cdot r + b_1 \cdot r^2 = 135\) Первое уравнение преобразуем: \[ b_1 (1 + r) = 108 \] \[ b_1 = \frac{108}{1 + r} \tag{1} \] Теперь подставим \(b_2 = b_1 \cdot r = \frac{108r}{1 + r}\) и \(b_3 = b_1 \cdot r^2 = \frac{108r^2}{1 + r}\) во второе уравнение: \[ \frac{108r}{1 + r} + \frac{108r^2}{1 + r} = 135 \] Поскольку общим знаменателем здесь является \(1 + r\), можем упростить уравнение: \[ \frac{108r(1 + r)}{1 + r} = 135 \] Умножаем обе стороны на \(1 + r\): \[ 108r + 108r^2 = 135(1 + r) \] Раскрываем скобки: \[ 108r + 108r^2 = 135 + 135r \] Переносим все в одну сторону: \[ 108r^2 + 108r - 135r - 135 = 0 \] \[ 108r^2 - 27r - 135 = 0 \] ### Шаг 3: Упрощение уравнения Это квадратное уравнение можно упростить, разделив каждое значение на 9: \[ 12r^2 - 3r - 15 = 0 \] ### Шаг 4: Решение квадратного уравнения Теперь можем использовать дискриминант для нахождения корней: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-15) = 9 + 720 = 729 \] Находим корни: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 27}{24} \] \[ r_1 = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}, \quad r_2 = \frac{-24}{24} = -1 \quad \text{(отбрасываем, так как r должно быть положительным)} \] ### Шаг 5: Находим \(b_1\) Подставляем \(r = \frac{5}{4}\) в уравнение (1): \[ b_1 = \frac{108}{1 + \frac{5}{4}} = \frac{108}{\frac{9}{4}} = 108 \cdot \frac{4}{9} = 48 \] Теперь можем найти \(b_2\) и \(b_3\): \[ b_2 = b_1 \cdot r = 48 \cdot \frac{5}{4} = 60 \] \[ b_3 = b_1 \cdot r^2 = 48 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^2 = 48 \cdot \frac{25}{16} = 75 \] ### Ответ Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии: - \(b_1 = 48\) - \(b_2 = 60\) - \(b_3 = 75\) Таким образом, первые три члена прогрессии равны 48, 60 и 75.