Давайте решим задачу шаг за шагом. Мы будем искать сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, зная два члена: ( a_{11} = 7,3 ) и ( a_{23} = 33,7 ).
Шаг 1: Найти первый член и разность прогрессии
Арифметическая прогрессия характеризуется следующим свойством: каждый следующий член равен предыдущему плюс постоянная разность, обозначаемая как ( d ). Мы можем выразить члены прогрессии через первый член ( a_1 ):
- ( a_{11} = a_1 + 10d )
- ( a_{23} = a_1 + 22d )
Теперь подставим известные значения:
Для ( a_{11} ):
[
7,3 = a_1 + 10d \quad (1)
]
Для ( a_{23} ):
[
33,7 = a_1 + 22d \quad (2)
]
Шаг 2: Составить систему уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Давайте вычтем (1) из (2):
[
(33,7 - 7,3) = (a_1 + 22d) - (a_1 + 10d)
]
Это упростится до:
[
26,4 = 12d
]
Шаг 3: Найти разность ( d )
Теперь найдем ( d ):
[
d = \frac{26,4}{12} = 2,2
]
Шаг 4: Найти первый член ( a_1 )
Теперь подставим ( d ) обратно в одно из уравнений, чтобы найти ( a_1 ). Подставим в уравнение (1):
[
7,3 = a_1 + 10 \cdot 2,2
]
Посчитаем ( 10 \cdot 2,2 = 22 ):
[
7,3 = a_1 + 22
]
Теперь найдем ( a_1 ):
[
a_1 = 7,3 - 22 = -14,7
]
Шаг 5: Найти сумму первых 16 членов ( S_{16} )
Сумма ( S_n ) первых ( n ) членов арифметической прогрессии дается по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
]
где ( a_n ) — ( n )-й член прогрессии, который можно найти по формуле:
[
a_n = a_1 + (n-1)d
]
Для ( n = 16 ):
[
a_{16} = a_1 + 15d = -14,7 + 15 \cdot 2,2
]
Посчитаем:
[
15 \cdot 2,2 = 33
]
Теперь найдем ( a_{16} ):
[
a_{16} = -14,7 + 33 = 18,3
]
Радикал 6: Найдем сумму ( S_{16} )
Теперь можем найти сумму:
[
S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (-14,7 + 18,3) = 8 \cdot (3,6) = 28,8
]
Ответ
Сумма первых шестнадцати членов данной арифметической прогрессии равна ( 28,8 ).
