Найди сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, если a 11 = 7 , 3 a 11 =7,3 и a 23 = 33 , 7 a 23 =33,7
Давайте решим задачу шаг за шагом. Мы будем искать сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, зная два члена: \( a_{11} = 7,3 \) и \( a_{23} = 33,7 \).
Шаг 1: Найти первый член и разность прогрессии
Арифметическая прогрессия характеризуется следующим свойством: каждый следующий член равен предыдущему плюс постоянная разность, обозначаемая как \( d \). Мы можем выразить члены прогрессии через первый член \( a_1 \):
- \( a_{11} = a_1 + 10d \)
- \( a_{23} = a_1 + 22d \)
Теперь подставим известные значения:
Для \( a_{11} \): \[ 7,3 = a_1 + 10d \quad (1) \]
Для \( a_{23} \): \[ 33,7 = a_1 + 22d \quad (2) \]
Шаг 2: Составить систему уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Давайте вычтем (1) из (2):
\[ (33,7 - 7,3) = (a_1 + 22d) - (a_1 + 10d) \]
Это упростится до:
\[ 26,4 = 12d \]
Шаг 3: Найти разность \( d \)
Теперь найдем \( d \):
\[ d = \frac{26,4}{12} = 2,2 \]
Шаг 4: Найти первый член \( a_1 \)
Теперь подставим \( d \) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( a_1 \). Подставим в уравнение (1):
\[ 7,3 = a_1 + 10 \cdot 2,2 \]
Посчитаем \( 10 \cdot 2,2 = 22 \):
\[ 7,3 = a_1 + 22 \]
Теперь найдем \( a_1 \):
\[ a_1 = 7,3 - 22 = -14,7 \]
Шаг 5: Найти сумму первых 16 членов \( S_{16} \)
Сумма \( S_n \) первых \( n \) членов арифметической прогрессии дается по формуле:
\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]
где \( a_n \) — \( n \)-й член прогрессии, который можно найти по формуле:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
Для \( n = 16 \):
\[ a_{16} = a_1 + 15d = -14,7 + 15 \cdot 2,2 \]
Посчитаем:
\[ 15 \cdot 2,2 = 33 \]
Теперь найдем \( a_{16} \):
\[ a_{16} = -14,7 + 33 = 18,3 \]
Радикал 6: Найдем сумму \( S_{16} \)
Теперь можем найти сумму:
\[ S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (-14,7 + 18,3) = 8 \cdot (3,6) = 28,8 \]
Ответ
Сумма первых шестнадцати членов данной арифметической прогрессии равна \( 28,8 \).
