2x + y = 1; 2x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 1

Для решения данной системы уравнений, давайте разберем каждое уравнение по отдельности и попробуем найти значения переменных \( x \) и \( y \).

Система уравнений:

1. \( 2x + y = 1 \) (Уравнение 1)
2. \( 2x^2 + xy + y^2 = 1 \) (Уравнение 2)

Шаг 1: Выразим \( y \) через \( x \)

Из первого уравнения (Уравнение 1) мы можем выразить \( y \):

\[ y = 1 - 2x \]

Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение

Теперь подставим найденное значение \( y \) в второе уравнение (Уравнение 2):

\[ 2x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 1 \]

Шаг 3: Раскроем скобки

Теперь раскроем скобки:

1. \( x(1 - 2x) = x - 2x^2 \)
2. \( (1 - 2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2 \)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ 2x^2 + (x - 2x^2) + (1 - 4x + 4x^2) = 1 \]

Шаг 4: Сложим все термины

Теперь соберем все термины в одном уравнении:

\[ 2x^2 - 2x^2 + x + 4x^2 - 4x + 1 = 1 \]

Сортируем уравнение:

\[ (0 + 2x^2 - 3x + 1) = 1 \]

Шаг 5: Упростим уравнение

Сократим обе части уравнения:

\[ 2x^2 - 3x + 1 - 1 = 0 \]

Что упрощается до:

\[ 2x^2 - 3x = 0 \]

Шаг 6: Извлечение \( x \)

Вынесем общий множитель:

\[ x(2x - 3) = 0 \]

Это уравнение дает два решения:

1. \( x = 0 \)
2. \( 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \)

Шаг 7: Найдем \( y \) для каждого \( x \)

Теперь подставим каждое значение \( x \) обратно в уравнение для \( y \):

1. Если \( x = 0 \): \[ y = 1 - 2(0) = 1 \] Получаем пару решений: \( (0, 1) \)

2. Если \( x = \frac{3}{2} \): \[ y = 1 - 2\left(\frac{3}{2}\right) = 1 - 3 = -2 \] Получаем вторую пару решений: \( \left(\frac{3}{2}, -2\right) \)

Ответ

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. \( (0, 1) \)
2. \( \left(\frac{3}{2}, -2\right) \)

Если у вас есть дополнительные вопросы по данной задаче или нужно разобрать что-то еще, пожалуйста, дайте знать!