.
Давайте разберём задачу.
У нас есть прямоугольный треугольник, в котором:
- Гипотенуза \( c = 65 \) см.
- Радиус вписанной окружности \( r = 7 \) см.
Нужно найти периметр этого треугольника.
Шаг 1: Формула радиуса вписанной окружности
Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности \( r \) выражается как:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.
Подставим известные значения:
\[ 7 = \frac{a + b - 65}{2} \]
Решим уравнение:
\[ 14 = a + b - 65 \]
\[ a + b = 79 \]
Шаг 2: Использование теоремы Пифагора
По теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим \( c = 65 \):
\[ a^2 + b^2 = 65^2 = 4225 \]
Теперь у нас система:
- \( a + b = 79 \)
- \( a^2 + b^2 = 4225 \)
Шаг 3: Решение системы
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выражаем \( b = 79 - a \) и подставляем во второе:
\[ a^2 + (79-a)^2 = 4225 \]
Теперь раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение:
\[ a^2 + (79-a)^2 = a^2 + (6241 - 158a + a^2) = 4225 \]
\[ 2a^2 - 158a + 6241 = 4225 \]
\[ 2a^2 - 158a + 2016 = 0 \]
Решим его стандартным методом:
- Делим всё уравнение на 2:
\[ a^2 - 79a + 1008 = 0 \]
- Найдём дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 79^2 - 4 \times 1008 = 6241 - 4032 = 2209 \]
- Корни уравнения:
\[ a = \frac{79 \pm \sqrt{2209}}{2} = \frac{79 \pm 47}{2} \]
Получаем два корня:
- \( a = \frac{79 + 47}{2} = 63 \)
- \( a = \frac{79 - 47}{2} = 16 \)
Соответственно, для \( a = 63 \), \( b = 16 \), и наоборот (так как \( b = 79 - a \)).
Шаг 4: Найдём периметр
Теперь найдём периметр:
\[ P = a + b + c = 16 + 63 + 65 = 144 \]
Ответ: Периметр треугольника равен 144 см.
