.

Давайте разберём задачу. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором: - Гипотенуза \( c = 65 \) см. - Радиус вписанной окружности \( r = 7 \) см. Нужно найти периметр этого треугольника. ### Шаг 1: Формула радиуса вписанной окружности Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности \( r \) выражается как: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза. Подставим известные значения: \[ 7 = \frac{a + b - 65}{2} \] Решим уравнение: \[ 14 = a + b - 65 \] \[ a + b = 79 \] ### Шаг 2: Использование теоремы Пифагора По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим \( c = 65 \): \[ a^2 + b^2 = 65^2 = 4225 \] Теперь у нас система: 1. \( a + b = 79 \) 2. \( a^2 + b^2 = 4225 \) ### Шаг 3: Решение системы Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выражаем \( b = 79 - a \) и подставляем во второе: \[ a^2 + (79-a)^2 = 4225 \] Теперь раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение: \[ a^2 + (79-a)^2 = a^2 + (6241 - 158a + a^2) = 4225 \] \[ 2a^2 - 158a + 6241 = 4225 \] \[ 2a^2 - 158a + 2016 = 0 \] Решим его стандартным методом: 1. Делим всё уравнение на 2: \[ a^2 - 79a + 1008 = 0 \] 2. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 79^2 - 4 \times 1008 = 6241 - 4032 = 2209 \] 3. Корни уравнения: \[ a = \frac{79 \pm \sqrt{2209}}{2} = \frac{79 \pm 47}{2} \] Получаем два корня: - \( a = \frac{79 + 47}{2} = 63 \) - \( a = \frac{79 - 47}{2} = 16 \) Соответственно, для \( a = 63 \), \( b = 16 \), и наоборот (так как \( b = 79 - a \)). ### Шаг 4: Найдём периметр Теперь найдём периметр: \[ P = a + b + c = 16 + 63 + 65 = 144 \] Ответ: Периметр треугольника равен 144 см.