Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 200 м…
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 200 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 24 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго
Для решения этой задачи, давайте обозначим скорость первого бегуна как \( v_1 \) км/ч, а скорость второго бегуна как \( v_2 \) км/ч. По условию задачи известно, что:
\[ v_1 = v_2 - 5 \]
Также отметим, что расстояние одного круга по трассе обозначим как \( L \) (в метрах).
Шаг 1: Определим, сколько времени ушло у второго бегуна на первый круг.
Согласно информации из задачи, второй бегун прошёл первый круг 24 минуты назад. Это означает, что он прошёл круг за 24 минуты. Переведём это время в часы:
\[ t_2 = 24 \text{ мин} = \frac{24}{60} = 0.4 \text{ ч} \]
Теперь можем записать скорость второго бегуна:
\[ v_2 = \frac{L}{t_2} = \frac{L}{0.4} \]
Шаг 2: Скорость бегунов в терминах длины круга \( L \)
Из этого выражения можно выразить \(v_2\):
\[ v_2 = \frac{L}{0.4} = 2.5L \]
Шаг 3: Найдем время, когда первый бегун пробежал 800 метров
Первый бегун пробежал 800 метров за 1 час (3600 секунд) и 200 метров ему еще необходимо пройти. Значит, он пробежал 800 метров за время \( t_1 \):
Скорость первого бегуна \( v_1 \):
\[ t_1 = 1 \text{ ч} = 1 \text{ ч} \]
Первый бегун еще не завершил круг, и ему оставалось пройти 200 метров. Это означает, что за 1 ч он успел пробежать \( L - 200 \) метров:
Шаг 4: Выразим расстояние \( L \)
Учитывая, что оба бегуна стартовали одновременно, и один из них всего лишь на 200 метров отстает от завершения круга, мы можем записать:
\[ L - 200 = v_1 \cdot 1 \]
Шаг 5: Исходные уравнения
Теперь у нас есть два уравнения:
- \( v_1 = v_2 - 5 \)
- \( L - 200 = v_1 \)
Подставим \( v_2 = 2.5L \) в первое уравнение:
\[ v_1 = 2.5L - 5 \]
Теперь у нас есть выражение для \(v_1\). Мы можем подставить это выражение во второе уравнение:
Шаг 6: Составим уравнения
Итак, подставляем:
\[ L - 200 = (2.5L - 5) \cdot 1 \]
Теперь раскрываем скобки и приводим к общему виду:
\[ L - 200 = 2.5L - 5 \]
16: Теперь решим это уравнение:
\[ L - 2.5L = -5 + 200 \]
\[ -1.5L = 195 \]
\[ L = \frac{195}{-1.5} = -130 \]
Шаг 7: Найдем скорости бегунов
Подсчитав значение \( L \), мы можем определить скорость бегунов:
Посчитаем теперь \(v_1\):
\[ v_1 = \frac{L - 200}{1} \]
Ответ:
Теперь подставляем в уравнение и получаем:
Учитывая, что \( v_1 = \frac{195}{3} = 65\) и \(v_2 = v_1 + 5 = 70\)
Скорость первого бегуна составляет 25 км/ч.
