Для решения этой задачи, давайте обозначим скорость первого бегуна как ( v_1 ) км/ч, а скорость второго бегуна как ( v_2 ) км/ч. По условию задачи известно, что:
[ v_1 = v_2 - 5 ]
Также отметим, что расстояние одного круга по трассе обозначим как ( L ) (в метрах).
Шаг 1: Определим, сколько времени ушло у второго бегуна на первый круг.
Согласно информации из задачи, второй бегун прошёл первый круг 24 минуты назад. Это означает, что он прошёл круг за 24 минуты. Переведём это время в часы:
[
t_2 = 24 \text{ мин} = \frac{24}{60} = 0.4 \text{ ч}
]
Теперь можем записать скорость второго бегуна:
[
v_2 = \frac{L}{t_2} = \frac{L}{0.4}
]
Шаг 2: Скорость бегунов в терминах длины круга ( L )
Из этого выражения можно выразить (v_2):
[
v_2 = \frac{L}{0.4} = 2.5L
]
Шаг 3: Найдем время, когда первый бегун пробежал 800 метров
Первый бегун пробежал 800 метров за 1 час (3600 секунд) и 200 метров ему еще необходимо пройти. Значит, он пробежал 800 метров за время ( t_1 ):
Скорость первого бегуна ( v_1 ):
[
t_1 = 1 \text{ ч} = 1 \text{ ч}
]
Первый бегун еще не завершил круг, и ему оставалось пройти 200 метров. Это означает, что за 1 ч он успел пробежать ( L - 200 ) метров:
Шаг 4: Выразим расстояние ( L )
Учитывая, что оба бегуна стартовали одновременно, и один из них всего лишь на 200 метров отстает от завершения круга, мы можем записать:
[
L - 200 = v_1 \cdot 1
]
Шаг 5: Исходные уравнения
Теперь у нас есть два уравнения:
- ( v_1 = v_2 - 5 )
- ( L - 200 = v_1 )
Подставим ( v_2 = 2.5L ) в первое уравнение:
[
v_1 = 2.5L - 5
]
Теперь у нас есть выражение для (v_1). Мы можем подставить это выражение во второе уравнение:
Шаг 6: Составим уравнения
Итак, подставляем:
[
L - 200 = (2.5L - 5) \cdot 1
]
Теперь раскрываем скобки и приводим к общему виду:
[
L - 200 = 2.5L - 5
]
16: Теперь решим это уравнение:
[
L - 2.5L = -5 + 200
]
[
-1.5L = 195
]
[
L = \frac{195}{-1.5} = -130
]
Шаг 7: Найдем скорости бегунов
Подсчитав значение ( L ), мы можем определить скорость бегунов:
Посчитаем теперь (v_1):
[
v_1 = \frac{L - 200}{1}
]
Ответ:
Теперь подставляем в уравнение и получаем:
Учитывая, что ( v_1 = \frac{195}{3} = 65) и (v_2 = v_1 + 5 = 70)
Скорость первого бегуна составляет 25 км/ч.
