Найдите производные функций: 1. 3x ^ 5 2. 7x 3. 3x ^ (1/3) 4. (x ^ 4)/4 5. 5sin x, 5. 4e ^ x 7. 3 In х; 8. 7ctg x.

Давайте найдём производные указанных функций одну за другой, и я объясню каждый шаг. Например, для нахождения производной мы будем использовать правила дифференцирования. ### 1. Функция: \( 3x^5 \) **Шаг 1:** Используем правило мощности, которое гласит, что производная \( ax^n \) равна \( n \cdot ax^{n-1} \). **Шаг 2:** Здесь \( a = 3 \) и \( n = 5 \). **Шаг 3:** Применяем правило: \[ f'(x) = 5 \cdot 3x^{5-1} = 15x^4 \] **Ответ:** \( f'(x) = 15x^4 \) --- ### 2. Функция: \( 7x \) **Шаг 1:** Это линейная функция. Согласно правилу производной \( f'(x) = a \) для функции \( ax \). **Шаг 2:** Здесь \( a = 7 \). **Ответ:** \( f'(x) = 7 \) --- ### 3. Функция: \( 3x^{1/3} \) **Шаг 1:** Используем правило мощности. **Шаг 2:** Здесь \( a = 3 \) и \( n = \frac{1}{3} \). **Шаг 3:** Применяем правило: \[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{\frac{1}{3}-1} = x^{-2/3} \] **Ответ:** \( f'(x) = \frac{1}{x^{2/3}} \) --- ### 4. Функция: \( \frac{x^4}{4} \) **Шаг 1:** Можно переписать как \( \frac{1}{4} x^4 \). **Шаг 2:** Используем правило мощности. **Шаг 3:** Применяем правило: \[ f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3 \] **Ответ:** \( f'(x) = x^3 \) --- ### 5. Функция: \( 5\sin x \) **Шаг 1:** Используем производную функции синуса. Производная \( \sin x \) равна \( \cos x \). **Шаг 2:** Поэтому: \[ f'(x) = 5 \cdot \cos x \] **Ответ:** \( f'(x) = 5\cos x \) --- ### 6. Функция: \( 4e^x \) **Шаг 1:** Производная экспоненты \( e^x \) равна \( e^x \). **Шаг 2:** Таким образом: \[ f'(x) = 4 \cdot e^x \] **Ответ:** \( f'(x) = 4e^x \) --- ### 7. Функция: \( 3\ln x \) **Шаг 1:** Производная логарифма \( \ln x \) равна \( \frac{1}{x} \). **Шаг 2:** Поэтому: \[ f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \] **Ответ:** \( f'(x) = \frac{3}{x} \) --- ### 8. Функция: \( 7\cot x \) **Шаг 1:** Производная котангенса \( \cot x \) равна \( -\csc^2 x \). **Шаг 2:** Следовательно: \[ f'(x) = 7 \cdot -\csc^2 x = -7\csc^2 x \] **Ответ:** \( f'(x) = -7\csc^2 x \) --- Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять процесс нахождения производных! Если у вас есть вопросы или нужна помощь с другими задачами, обращайтесь!