Найдите производные функций: 1. 3x ^ 5 2. 7x 3. 3x ^ (1/3) 4. (x ^ 4)/4 5. 5sin x, 5. 4e ^ x 7. 3 In х; 8. 7ctg x.
Давайте найдём производные указанных функций одну за другой, и я объясню каждый шаг. Например, для нахождения производной мы будем использовать правила дифференцирования.
1. Функция: \( 3x^5 \)
Шаг 1: Используем правило мощности, которое гласит, что производная \( ax^n \) равна \( n \cdot ax^{n-1} \).
Шаг 2: Здесь \( a = 3 \) и \( n = 5 \).
Шаг 3: Применяем правило: \[ f'(x) = 5 \cdot 3x^{5-1} = 15x^4 \]
Ответ: \( f'(x) = 15x^4 \)
2. Функция: \( 7x \)
Шаг 1: Это линейная функция. Согласно правилу производной \( f'(x) = a \) для функции \( ax \).
Шаг 2: Здесь \( a = 7 \).
Ответ: \( f'(x) = 7 \)
3. Функция: \( 3x^{1/3} \)
Шаг 1: Используем правило мощности.
Шаг 2: Здесь \( a = 3 \) и \( n = \frac{1}{3} \).
Шаг 3: Применяем правило: \[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{\frac{1}{3}-1} = x^{-2/3} \]
Ответ: \( f'(x) = \frac{1}{x^{2/3}} \)
4. Функция: \( \frac{x^4}{4} \)
Шаг 1: Можно переписать как \( \frac{1}{4} x^4 \).
Шаг 2: Используем правило мощности.
Шаг 3: Применяем правило: \[ f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3 \]
Ответ: \( f'(x) = x^3 \)
5. Функция: \( 5\sin x \)
Шаг 1: Используем производную функции синуса. Производная \( \sin x \) равна \( \cos x \).
Шаг 2: Поэтому: \[ f'(x) = 5 \cdot \cos x \]
Ответ: \( f'(x) = 5\cos x \)
6. Функция: \( 4e^x \)
Шаг 1: Производная экспоненты \( e^x \) равна \( e^x \).
Шаг 2: Таким образом: \[ f'(x) = 4 \cdot e^x \]
Ответ: \( f'(x) = 4e^x \)
7. Функция: \( 3\ln x \)
Шаг 1: Производная логарифма \( \ln x \) равна \( \frac{1}{x} \).
Шаг 2: Поэтому: \[ f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \]
Ответ: \( f'(x) = \frac{3}{x} \)
8. Функция: \( 7\cot x \)
Шаг 1: Производная котангенса \( \cot x \) равна \( -\csc^2 x \).
Шаг 2: Следовательно: \[ f'(x) = 7 \cdot -\csc^2 x = -7\csc^2 x \]
Ответ: \( f'(x) = -7\csc^2 x \)
Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять процесс нахождения производных! Если у вас есть вопросы или нужна помощь с другими задачами, обращайтесь!
