Какое из утверждений неверно? Выбери верный вариант ответа. Не существует такого значения параметра, при котором уравнение 2 x 2 − r x − r + 3 = 0 2x 2 −rx−r+3=0 не имеет решений…

Чтобы понять, какое из представленных утверждений неверно, нам нужно проанализировать квадратное уравнение:

\[ 2x^2 - rx - r + 3 = 0 \]

Шаг 1: Определим дискриминант

Для квадратных уравнений общего вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) существует понятие дискриминанта \( D \), который рассчитывается по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае:

• \( a = 2 \)
• \( b = -r \)
• \( c = -r + 3 \)

Подставим значения в формулу дискриминанта:

\[ D = (-r)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-r + 3) \] \[ D = r^2 + 8(r - 3) \] \[ D = r^2 + 8r - 24 \]

Шаг 2: Классификация по дискриминанту

1. Два решения: Дискриминант \( D > 0 \)
2. Одно решение: Дискриминант \( D = 0 \)
3. Нет решений: Дискриминант \( D < 0 \)

Шаг 3: Найдем условия для D

1. Для двух решений: Чтобы уравнение имело два решения, нужно, чтобы \( D > 0 \): \[ r^2 + 8r - 24 > 0 \]

   Находим корни квадратного уравнения \( r^2 + 8r - 24 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D' = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 64 + 96 = 160 \] Корни: \[ r_1 = \frac{-8 + \sqrt{160}}{2} = -4 + 2\sqrt{10} \] \[ r_2 = \frac{-8 - \sqrt{160}}{2} = -4 - 2\sqrt{10} \]

   Параметр \( r \) будет лежать вне интервала между корнями для того, чтобы \( D > 0 \).

2. Для одного решения: Для того чтобы уравнение имело одно решение, необходимо, чтобы \( D = 0 \): \[ r^2 + 8r - 24 = 0 \] Это как раз уравнение, которое мы решили выше. Значения, когда это уравнение имеет решение — это и есть \( r_1 \) и \( r_2 \).

3. Для отсутствия решений: Мы ищем \( D < 0 \) для определения тех значений \( r \), для которых уравнение не имеет решений: \[ r^2 + 8r - 24 < 0 \] Это означает, что \( r \) должно находиться в интервале между корнями.

Шаг 4: Анализ утверждений

1. Не существует такого значения параметра, при котором уравнение не имеет решений.
   Это утверждение неверно, так как, как мы выяснили, существует множество значений \( r \), для которых уравнение не имеет решений.

2. Существует такое значение параметра, при котором уравнение имеет два решения.
   Это утверждение верно, потому что при выборе \( r \) вне интервала между корнями дискриминанта получаем два решения.

3. Существует такое значение параметра, при котором уравнение имеет одно решение.
   Это утверждение также верно, так как \( r \) может быть равно любому из корней.

Ответ

Неверное утверждение: "Не существует такого значения параметра, при котором уравнение не имеет решений."