найдите наименьшее целое значение аргумента принадлежащее области определения функции у=√х+12/х²+2х-120
Решим задачу по нахождению наименьшего целого значения аргумента \( x \), которое принадлежит области определения функции \( y = \sqrt{\frac{x + 12}{x^2 + 2x - 120}} \).
Шаг 1: Определение области определения
Чтобы функция была определена, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а также дробь была определена.
- Проверка подкоренного выражения:
Для того чтобы \(\frac{x + 12}{x^2 + 2x - 120} \geq 0\), должно выполняться следующее:- \(x + 12 \geq 0\) (числитель)
- \(x^2 + 2x - 120 > 0\) (знаменатель должен быть положительным)
Шаг 2: Решение неравенств
Неравенство \(x + 12 \geq 0\):
\[ x \geq -12 \]Неравенство \(x^2 + 2x - 120 > 0\):
Для решения этого неравенства сначала находим корни: \[ x^2 + 2x - 120 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{и} \quad \frac{-24}{2} = -12 \]Теперь имеем корни \( x = -12 \) и \( x = 10 \). Переносим информацию о знаках:
Для многочлена \(x^2 + 2x - 120\) знаки меняются в корнях:
- На интервале \( (-\infty, -12) \) — положительно (выразим через знак)
- На интервале \( (-12, 10) \) — отрицательно
- На интервале \( (10, +\infty) \) — положительно
Мы ищем, где этот многочлен больше нуля: \[ x < -12 \quad \text{или} \quad x > 10 \]
Шаг 3: Объединение условий
Теперь объединим условия:
- Из \(x + 12 \geq 0\): \(x \geq -12\)
- Из \(x^2 + 2x - 120 > 0\): \(x < -12\) или \(x > 10\)
Объединяя, мы получаем: \[ x \geq -12 \quad \text{и} \quad (x < -12 \quad \text{или} \quad x > 10) \]
Таким образом, область определения функции:
- Единственным подходящим условием будет \(x > 10\).
Шаг 4: Наименьшее целое значение
Наименьшее целое значение, которое принадлежит области определения \(x > 10\): \[ x = 11 \]
Ответ
Наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее области определения функции, равно \( \boxed{11} \).
