В полном графе количество ребер 435. Склько в нем вершин?

Чтобы решить задачу, давайте сначала разберемся, что такое полный граф.

Определение полного графа

Полный граф \( K_n \) — это граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром. Количество вершин в полном графе обозначается \( n \), а количество рёбер в полном графе высчитывается по формуле:

\[ E = \frac{n(n-1)}{2} \]

где \( E \) — это количество рёбер, а \( n \) — это количество вершин.

Дано

В задаче говорится, что в полном графе количество рёбер \( E = 435 \). Необходимо найти количество вершин \( n \).

Решение

1. Запишем формулу для количества рёбер: \[ E = \frac{n(n-1)}{2} \] Подставим известное значение \( E = 435 \): \[ 435 = \frac{n(n-1)}{2} \]

2. Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от деления: \[ 870 = n(n-1) \]

3. Перепишем уравнение так, чтобы оно было в стандартной форме: \[ n(n - 1) - 870 = 0 \]

4. Это уравнение является квадратным: \[ n^2 - n - 870 = 0 \]

5. Для решения квадратного уравнения используем формулу условий дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -870 \): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-870) = 1 + 3480 = 3481 \]

6. Теперь вычислим корни квадратного уравнения по формуле: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{3481}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 59}{2} \]

7. Рассчитываем два возможных значения:

   • \( n_1 = \frac{1 + 59}{2} = \frac{60}{2} = 30 \)
   • \( n_2 = \frac{1 - 59}{2} = \frac{-58}{2} = -29 \) (отрицательное значение не подходит)

8. Следовательно, количество вершин в полном графе: \[ n = 30 \]

Ответ

В полном графе, в котором количество рёбер равно 435, количество вершин составляет 30.