Для решения задачи нам нужно использовать формулу для вычисления вероятности исходов в биноклеональных экспериментах, где вероятность появления каждого из двух исходов (в нашем случае — орел и решка) равна ( p = 0.5 ).
Мы будем использовать формулу биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( P(X = k) ) — вероятность получения ровно ( k ) успехов (решек) в ( n ) испытаниях;
- ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — это биномиальный коэффициент, который определяет количество способов выбрать ( k ) успехов из ( n );
- ( n ) — общее число испытаний;
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае ( p = 0.5 ));
- ( (1-p) ) — вероятность неуспеха.
В нашей задаче ( n = 14 ), и мы будем рассматривать успехи при ( k = 8 ) и ( k = 5 ).
Шаг 1: Вычислим вероятность того, что монета выпала решкой ровно 8 раз
[
P(X = 8) = C(14, 8) \cdot (0.5)^8 \cdot (0.5)^{14-8}
]
Значит,
[
P(X = 8) = C(14, 8) \cdot (0.5)^{14}
]
Теперь вычислим ( C(14, 8) ):
[
C(14, 8) = \frac{14!}{8!6!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003
]
Теперь можем подставить это значение в нашу формулу:
[
P(X = 8) = 3003 \cdot (0.5)^{14}
]
Шаг 2: Вычислим вероятность того, что монета выпала решкой ровно 5 раз
[
P(X = 5) = C(14, 5) \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{14-5}
]
Итак,
[
P(X = 5) = C(14, 5) \cdot (0.5)^{14}
]
Теперь вычислим ( C(14, 5) ):
[
C(14, 5) = \frac{14!}{5!9!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2002
]
Теперь можем подставить это значение в нашу формулу:
[
P(X = 5) = 2002 \cdot (0.5)^{14}
]
Шаг 3: Найдем отношение вероятностей
Теперь мы можем найти, во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 8 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 5 раз»:
[
\text{Отношение} = \frac{P(X = 8)}{P(X = 5)} = \frac{3003 \cdot (0.5)^{14}}{2002 \cdot (0.5)^{14}} = \frac{3003}{2002}
]
Шаг 4: Упростим отношение
[
\frac{3003}{2002} = 1.5
]
Ответ
Вероятность события «монета выпала решкой ровно 8 раз» в ( 1.5 ) раза больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 5 раз».
