Симметричную монету подкинули 14 14 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 8 8 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 5 5 раз»?

Для решения задачи нам нужно использовать формулу для вычисления вероятности исходов в биноклеональных экспериментах, где вероятность появления каждого из двух исходов (в нашем случае — орел и решка) равна \( p = 0.5 \).

Мы будем использовать формулу биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность получения ровно \( k \) успехов (решек) в \( n \) испытаниях;
• \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — это биномиальный коэффициент, который определяет количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \);
• \( n \) — общее число испытаний;
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае \( p = 0.5 \));
• \( (1-p) \) — вероятность неуспеха.

В нашей задаче \( n = 14 \), и мы будем рассматривать успехи при \( k = 8 \) и \( k = 5 \).

Шаг 1: Вычислим вероятность того, что монета выпала решкой ровно 8 раз

\[ P(X = 8) = C(14, 8) \cdot (0.5)^8 \cdot (0.5)^{14-8} \]

Значит,

\[ P(X = 8) = C(14, 8) \cdot (0.5)^{14} \]

Теперь вычислим \( C(14, 8) \):

\[ C(14, 8) = \frac{14!}{8!6!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003 \]

Теперь можем подставить это значение в нашу формулу:

\[ P(X = 8) = 3003 \cdot (0.5)^{14} \]

Шаг 2: Вычислим вероятность того, что монета выпала решкой ровно 5 раз

\[ P(X = 5) = C(14, 5) \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{14-5} \]

Итак,

\[ P(X = 5) = C(14, 5) \cdot (0.5)^{14} \]

Теперь вычислим \( C(14, 5) \):

\[ C(14, 5) = \frac{14!}{5!9!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2002 \]

Теперь можем подставить это значение в нашу формулу:

\[ P(X = 5) = 2002 \cdot (0.5)^{14} \]

Шаг 3: Найдем отношение вероятностей

Теперь мы можем найти, во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 8 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 5 раз»:

\[ \text{Отношение} = \frac{P(X = 8)}{P(X = 5)} = \frac{3003 \cdot (0.5)^{14}}{2002 \cdot (0.5)^{14}} = \frac{3003}{2002} \]

Шаг 4: Упростим отношение

\[ \frac{3003}{2002} = 1.5 \]

Ответ

Вероятность события «монета выпала решкой ровно 8 раз» в \( 1.5 \) раза больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 5 раз».