Найдите значение производной функции в точке x_{0} 19. y = x ^ 3 - 3x + 2 x_{0} = - 1 . 20. y = sqrt(x) + 4 x_{0} = 9 21. y=2ctg x; x_{0} = pi/3 22. y = sin(pi/6 - 2x) x_{0} =…

Давайте разберем каждую из задач по отдельности, объясняя пошагово, как находить производные и их значения.

Задача 19

Функция:
\( y = x^3 - 3x + 2 \)
Точка:
\( x_0 = -1 \)

Решение:

1. Найдем производную функции \( y \):
   \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \]

2. Подставим \( x_0 = -1 \) в производную:
   \[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3(1) - 3 = 0 \]

Ответ: Производная функции в точке \( x = -1 \) равна 0.

Задача 20

Функция:
\( y = \sqrt{x} + 4 \)
Точка:
\( x_0 = 9 \)

Решение:

1. Найдем производную функции \( y \):
   \[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{x} + 4) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

2. Подставим \( x_0 = 9 \) в производную:
   \[ y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \]

Ответ: Производная функции в точке \( x = 9 \) равна \( \frac{1}{6} \).

Задача 21

Функция:
\( y = 2 \cot x \)
Точка:
\( x_0 = \frac{\pi}{3} \)

Решение:

1. Найдем производную функции \( y \):
   \[ y' = \frac{d}{dx}(2 \cot x) = -2 \csc^2 x \]

2. Подставим \( x_0 = \frac{\pi}{3} \) в производную:
   \[ y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2 \csc^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2 \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = -2 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{8}{3} \]

Ответ: Производная функции в точке \( x = \frac{\pi}{3} \) равна \( -\frac{8}{3} \).

Задача 22

Функция:
\( y = \sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) \)
Точка:
\( x_0 = \frac{\pi}{12} \)

Решение:

1. Найдем производную функции \( y \):
   \[ y' = -2 \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) \]

2. Подставим \( x_0 = \frac{\pi}{12} \):
   \[ y'\left(\frac{\pi}{12}\right) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) = -2 \cos(0) = -2 \]

Ответ: Производная функции в точке \( x = \frac{\pi}{12} \) равна \( -2 \).

Задача 23

Функция:
\( f(x) = 2x^3 - x^2 \)

Решение:

1. Найдем производную функции:
   \[ f'(x) = 6x^2 - 2x \]

2. Находим, когда производная равна нулю:
   \[ 6x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(3x - 1) = 0 \]
   \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{3} \)

3. Находим интервалы:
   \[ -\infty < 0 \quad \text{(значение производной меняется с положительного на отрицательное)} \\ 0 < \frac{1}{3} \quad \text{(значение производной меняется с положительного на отрицательное)} \\ \frac{1}{3} < +\infty \quad \text{(значение производной остается положительным)} \]

Ответ:

• Место, где производная равна нулю: \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{3} \)
• Производная положительна при \( x < 0 \) и \( x > \frac{1}{3} \)
• Производная отрицательна на интервале \( (0, \frac{1}{3}) \).

Задача 24

Функция:
\( f(x) = 2\sqrt{x} - 5x + 3 \)

Решение:

1. Найдем производную функции:
   \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - 5 \]

2. Установим равенство:
   \[ \frac{1}{\sqrt{x}} - 5 = 2 \]
   \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = 7 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{7} \Rightarrow x = \left(\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{1}{49} \]

Ответ: При \( x = \frac{1}{49} \) выполняется равенство \( f'(x) = 2 \).

Если у вас возникнут дополнительные вопросы по этим задачам, дайте знать!