Дан прямоугольный треугольник A B C ABC с прямым углом C C . A C = 14 AC=14 , sin B = 0 , 28 sinB=0,28 . Найди длину окружности, описанной около этого треугольника.
Чтобы найти длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом в точке C, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и формулами для радиуса описанной окружности.
Понимание задачи.
У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Известно, что AC = 14 и sin(B) = 0,28. Необходимо найти длину окружности, описанной около треугольника, что соответствует \( C = 2\pi R \), где R — радиус описанной окружности.Нахождение радиуса описанной окружности (R).
В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы (R = c/2, где c — длина гипотенузы).Определим длину гипотенузы (c).
Нам нужно найти длины сторон AB (гипотенуза) и BC. Для этого применим известное значение синуса угла B: \[ \sin(B) = \frac{противолежащая}{гипотенуза} = \frac{AC}{AB} \implies AB = \frac{AC}{\sin(B)}. \] Подставим известные значения: \[ AB = \frac{14}{0,28} = 50. \]Нахождение стороны BC через теорему Пифагора.
Теперь нам нужно найти BC. По теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2. \] Подставляем значения: \[ 50^2 = 14^2 + BC^2 \implies 2500 = 196 + BC^2 \implies BC^2 = 2500 - 196 = 2304. \] Таким образом, находим BC: \[ BC = \sqrt{2304} = 48. \]Находим длину гипотенузы (AB).
Мы уже нашли AB = 50.Находим радиус R.
Теперь можем найти радиус описанной окружности: \[ R = \frac{c}{2} = \frac{AB}{2} = \frac{50}{2} = 25. \]Находим длину окружности.
Длина окружности, описанной вокруг треугольника, будет равна: \[ C = 2\pi R = 2\pi \cdot 25 = 50\pi. \]
Ответ: Длина окружности, описанной около треугольника ABC, равна \( 50\pi \) (приблизительно 157,08).
