Площади двух кругов равны  8 8 и  24 24. Найди площадь круга, радиус которого равен сумме радиусов данных кругов.

Давайте разберем задачу пошагово. 1. **Площадь круга** вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2, \] где \( S \) — площадь круга, \( r \) — радиус круга, а \( \pi \) — математическая константа примерно равная 3.14. 2. **Найдём радиусы кругов**: - Площадь первого круга (равная 8): \[ S_1 = \pi r_1^2 = 8. \] Разделим обе стороны на \( \pi \): \[ r_1^2 = \frac{8}{\pi}. \] Теперь найдём радиус \( r_1 \): \[ r_1 = \sqrt{\frac{8}{\pi}}. \] - Площадь второго круга (равная 24): \[ S_2 = \pi r_2^2 = 24. \] Аналогично, разделим обе стороны на \( \pi \): \[ r_2^2 = \frac{24}{\pi}. \] Затем найдем радиус \( r_2 \): \[ r_2 = \sqrt{\frac{24}{\pi}}. \] 3. **Теперь найдем сумму радиусов**: \[ r_{\text{сум}} = r_1 + r_2 = \sqrt{\frac{8}{\pi}} + \sqrt{\frac{24}{\pi}}. \] Объединим под общий корень: \[ r_{\text{сум}} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} + \sqrt{\frac{24}{\pi}} = \frac{\sqrt{8} + \sqrt{24}}{\sqrt{\pi}}. \] 4. **Упростим корни**: - \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) и \( \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \). Таким образом: \[ r_{\text{сум}} = \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{\sqrt{\pi}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{6})}{\sqrt{\pi}}. \] 5. **Теперь найдём площадь круга с радиусом \( r_{\text{сум}} \)**: По формуле для площади круга: \[ S = \pi r_{\text{сум}}^2. \] Подставим выражение радиуса: \[ S = \pi \left(\frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{6})}{\sqrt{\pi}}\right)^2. \] 6. **Упрощение площади**: \[ S = \pi \cdot \frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2}{\pi} = 4(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2. \] 7. **Вычислим \( (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 \)**: \[ (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 = 2 + 6 + 2\sqrt{2 \cdot 6} = 8 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3}. \] 8. **Теперь подставляем обратно в площадь**: \[ S = 4(8 + 4\sqrt{3}) = 32 + 16\sqrt{3}. \] Таким образом, площадь круга с радиусом, равным сумме радиусов данных кругов, равна \( 32 + 16\sqrt{3} \).