Площади двух кругов равны 8 8 и 24 24 . Найди площадь круга, радиус которого равен сумме радиусов данных кругов.

Давайте разберем задачу пошагово.

1. Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2, \] где \( S \) — площадь круга, \( r \) — радиус круга, а \( \pi \) — математическая константа примерно равная 3.14.

2. Найдём радиусы кругов:

   • Площадь первого круга (равная 8): \[ S_1 = \pi r_1^2 = 8. \] Разделим обе стороны на \( \pi \): \[ r_1^2 = \frac{8}{\pi}. \] Теперь найдём радиус \( r_1 \): \[ r_1 = \sqrt{\frac{8}{\pi}}. \]

   • Площадь второго круга (равная 24): \[ S_2 = \pi r_2^2 = 24. \] Аналогично, разделим обе стороны на \( \pi \): \[ r_2^2 = \frac{24}{\pi}. \] Затем найдем радиус \( r_2 \): \[ r_2 = \sqrt{\frac{24}{\pi}}. \]

3. Теперь найдем сумму радиусов: \[ r_{\text{сум}} = r_1 + r_2 = \sqrt{\frac{8}{\pi}} + \sqrt{\frac{24}{\pi}}. \] Объединим под общий корень: \[ r_{\text{сум}} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} + \sqrt{\frac{24}{\pi}} = \frac{\sqrt{8} + \sqrt{24}}{\sqrt{\pi}}. \]

4. Упростим корни:

   • \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) и \( \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \). Таким образом: \[ r_{\text{сум}} = \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{\sqrt{\pi}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{6})}{\sqrt{\pi}}. \]

5. Теперь найдём площадь круга с радиусом \( r_{\text{сум}} \): По формуле для площади круга: \[ S = \pi r_{\text{сум}}^2. \] Подставим выражение радиуса: \[ S = \pi \left(\frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{6})}{\sqrt{\pi}}\right)^2. \]

6. Упрощение площади: \[ S = \pi \cdot \frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2}{\pi} = 4(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2. \]

7. Вычислим \( (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 \): \[ (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 = 2 + 6 + 2\sqrt{2 \cdot 6} = 8 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3}. \]

8. Теперь подставляем обратно в площадь: \[ S = 4(8 + 4\sqrt{3}) = 32 + 16\sqrt{3}. \]

Таким образом, площадь круга с радиусом, равным сумме радиусов данных кругов, равна \( 32 + 16\sqrt{3} \).