построй график у= {x²-2x-1, x _> 0 x+1, x<0 определи при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком ровно 2 общие точки
Чтобы решить задачу, давайте поэтапно разберемся с графиком функции и условиями для прямой \(y = m\).
Шаг 1: Построение графика функции
У нас есть кусочная функция: \[ y = \begin{cases} x^2 - 2x - 1, & x \geq 0 \\ x + 1, & x < 0 \end{cases} \]
График для \(x \geq 0\): Для этой части у нас есть парабола \(y = x^2 - 2x - 1\). Найдем её вершину. Формула для координаты вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) дается как: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \] Подставим \(x = 1\) в уравнение, чтобы найти \(y_0\): \[ y_0 = 1^2 - 2\cdot1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \] Таким образом, вершина параболы \( (1, -2) \).
Парабола открыта вверх, и так как она определена для \(x \geq 0\), мы рассматриваем только правую часть графика, начиная с точки (0, -1).
График для \(x < 0\): Это линейная функция \(y = x + 1\). Она имеет длину и небольшой наклон вниз. Она идет через точку (0, 1) и уходит в отрицательную область \(y\).
Шаг 2: Определение условий для прямой \(y = m\)
Теперь, чтобы прямая \(y = m\) имела ровно 2 общие точки с графиком функции, рассмотрим две ситуации:
Прямая \(y = m\) пересекает параболу \(x^2 - 2x - 1\): Для нахождения пересечений с параболой, мы приравниваем: \[ x^2 - 2x - 1 = m \implies x^2 - 2x - (m + 1) = 0 \] Здесь, чтобы было 2 пересечения, необходимо, чтобы дискриминант был положительным: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m - 1) = 4 + 4(m + 1) = 4m + 8 \] Это выражение должно быть больше 0: \[ 4m + 8 > 0 \implies m > -2 \]
Прямая \(y = m\) пересекает линию \(x + 1\): Приравниваем: \[ x + 1 = m \implies x = m - 1 \] Линейная функция будет пересекаться с прямой \(y = m\) всегда, если \(m < 1\) (т.е. выше точки (0, 1)).
Шаг 3: Объединение условий
Теперь сложим оба условия:
- Для параболы: \(m > -2\)
- Для линии: \(m < 1\)
Таким образом, \(m\) должно удовлетворять следующему условию: \[ -2 < m < 1 \]
Ответ
Прямая \(y = m\) имеет два общих точки с графиком функции, если: \[ m \in (-2, 1) \]
