Чтобы определить, сколько вершин в полном графе с 435 рёбрами, нам нужно обратиться к свойствам полных графов.
В полном графе ( K_n ) (где ( n ) — количество вершин) количество рёбер ( E ) можно вычислить по формуле:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
В этой формуле ( n(n-1) ) — это максимальное количество рёбер, которые могут соединять пары вершин, и мы делим на 2, чтобы исключить дублирование (пара ( (A, B) ) и пара ( (B, A) ) считаются одним и тем же ребром).
В нашей задаче известно, что количество рёбер ( E = 435 ). Подставим это значение в формулу:
[
435 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:
[
870 = n(n-1)
]
Теперь мы можем преобразовать это уравнение в стандартную квадратную форму:
[
n^2 - n - 870 = 0
]
Для решения этого квадратного уравнения мы можем использовать формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -870 ). Подставим значения:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-870) = 1 + 3480 = 3481
]
Теперь мы находим корни уравнения с помощью формулы:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставив значения, получаем:
[
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{3481}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 59}{2}
]
Теперь решим это уравнение для обоих случаев:
- ( n = \frac{60}{2} = 30 )
- ( n = \frac{-58}{2} = -29 ) (н-negative, не подходит)
Таким образом, мы нашли, что количество вершин ( n = 30 ).
В заключении, в полном графе с 435 рёбрами находится 30 вершин.
