в прямоугольным треугольнике один из катетов равен b, a противолежащий угол равен B. Найдите катет и гипотенузу, если b=16, B=60
Для решения задачи воспользуемся тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике.
Дан прямоугольный треугольник с катетом \( b = 16 \) и противолежащим углом \( B = 60^\circ \). Нужно найти второй катет \( a \) и гипотенузу \( c \).
- Найдём гипотенузу \( c \):
Используем соотношение, связанное с синусом угла: \[ \sin B = \frac{b}{c} \]
Зная, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставим значения в формулу: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16}{c} \]
Решим уравнение относительно \( c \): \[ c = \frac{16 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}} \]
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\) для рационализации знаменателя: \[ c = \frac{32 \sqrt{3}}{3} \]
- Найдём второй катет \( a \):
Используем соотношение с тангенсом: \[ \tan B = \frac{b}{a} \]
Зная, что \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), подставим значения: \[ \sqrt{3} = \frac{16}{a} \]
Решим уравнение относительно \( a \): \[ a = \frac{16}{\sqrt{3}} \]
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\) для рационализации знаменателя: \[ a = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \]
Таким образом, второй катет \( a = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \), а гипотенуза \( c = \frac{32 \sqrt{3}}{3} \).
