Для решения задачи воспользуемся тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике.
Дан прямоугольный треугольник с катетом ( b = 16 ) и противолежащим углом ( B = 60^\circ ). Нужно найти второй катет ( a ) и гипотенузу ( c ).
- Найдём гипотенузу ( c ):
Используем соотношение, связанное с синусом угла:
[
\sin B = \frac{b}{c}
]
Зная, что (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), подставим значения в формулу:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16}{c}
]
Решим уравнение относительно ( c ):
[
c = \frac{16 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}}
]
Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}) для рационализации знаменателя:
[
c = \frac{32 \sqrt{3}}{3}
]
- Найдём второй катет ( a ):
Используем соотношение с тангенсом:
[
\tan B = \frac{b}{a}
]
Зная, что (\tan 60^\circ = \sqrt{3}), подставим значения:
[
\sqrt{3} = \frac{16}{a}
]
Решим уравнение относительно ( a ):
[
a = \frac{16}{\sqrt{3}}
]
Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}) для рационализации знаменателя:
[
a = \frac{16 \sqrt{3}}{3}
]
Таким образом, второй катет ( a = \frac{16 \sqrt{3}}{3} ), а гипотенуза ( c = \frac{32 \sqrt{3}}{3} ).
