Реши контрольную по алгебре 10 класс Sin(2x+π/3) =-1/2

Чтобы решить уравнение \( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \), давайте следовать пошаговым объяснениям. ### Шаг 1: Найти общее решение для синуса Знаем, что \( \sin(\theta) = -\frac{1}{2} \) происходит при следующих углах: 1. \( \theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \) (где \( k \) — любое целое число) 2. \( \theta = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \) ### Шаг 2: Подставить выражение В нашем случае \( \theta = 2x + \frac{\pi}{3} \). Это значит, что нам нужно приравнять \( 2x + \frac{\pi}{3} \) к каждому из найденных углов. #### Первое уравнение: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \] #### Второе уравнение: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \] ### Шаг 3: Решить каждое из уравнений #### Решение первого уравнения: 1. Изолируем \( 2x \): \[ 2x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] 2. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6} \quad \text{(умножаем числитель и знаменатель на 2)} \] Следовательно: \[ 2x = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] 3. Делим на 2: \[ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \] #### Решение второго уравнения: 1. Изолируем \( 2x \): \[ 2x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] 2. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{11\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \] 3. Получаем: \[ 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] 4. Делим на 2: \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \] ### Шаг 4: Записать общее решение Мы нашли два отдельных решения для \( x \): 1. \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \) 2. \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \) Где \( k \) — любое целое число. ### Ответ: Таким образом, общее решение уравнения \( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) можно записать как: \[ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \]