реши контрольную по алгебре 10 класс Sin(2x+π/3) =-1/2

Чтобы решить уравнение \( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \), давайте следовать пошаговым объяснениям.

Шаг 1: Найти общее решение для синуса

Знаем, что \( \sin(\theta) = -\frac{1}{2} \) происходит при следующих углах:

1. \( \theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \) (где \( k \) — любое целое число)
2. \( \theta = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \)

Шаг 2: Подставить выражение

В нашем случае \( \theta = 2x + \frac{\pi}{3} \). Это значит, что нам нужно приравнять \( 2x + \frac{\pi}{3} \) к каждому из найденных углов.

Первое уравнение:

\[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \]

Второе уравнение:

\[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \]

Шаг 3: Решить каждое из уравнений

Решение первого уравнения:

1. Изолируем \( 2x \): \[ 2x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \]

2. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6} \quad \text{(умножаем числитель и знаменатель на 2)} \] Следовательно: \[ 2x = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]

3. Делим на 2: \[ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \]

Решение второго уравнения:

1. Изолируем \( 2x \): \[ 2x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \]

2. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{11\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \]

3. Получаем: \[ 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \]

4. Делим на 2: \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \]

Шаг 4: Записать общее решение

Мы нашли два отдельных решения для \( x \):

1. \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \)
2. \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \)

Где \( k \) — любое целое число.

Ответ:

Таким образом, общее решение уравнения \( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) можно записать как: \[ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \]