Для того чтобы понять, возможно ли получить 997 частей, давайте рассмотрим процесс разрезания полоски бумаги поэтапно.
Первый шаг:
Мы начинаем с одной целой полоски бумаги. После первого разреза на 9 частей, у нас становится 9 частей.
Второй шаг:
Теперь мы разрезаем самую большую часть (одну из 9), на 9 новых частей. После этого у нас (9 - 1 + 9) = 17 частей.
Третий шаг:
Выбираем снова самую большую часть из 17 и разрезаем её на 9 частей. После этого у нас (17 - 1 + 9) = 25 частей.
Четвёртый шаг:
Теперь, из 25 частей, разрезаем одну из самых больших (одна из 25) на 9 частей: (25 - 1 + 9) = 33 части.
Шестой шаг и далее:
Продолжая этот процесс, мы замечаем, что на каждом шаге мы добавляем 8 новых частей (разрезаем одну часть на 9 и убираем одну).
Теперь давайте формализуем, как число частей изменяется на каждом шаге:
- После первого разреза: 1 часть → 9 частей (это 9 = 1 + 8)
- После второго: 9 + 8 = 17
- После третьего: 17 + 8 = 25
- После четвёртого: 25 + 8 = 33
- И так далее.
Мы можем заметить, что количество частей на каждом шаге может быть выражено формулой:
[ N = 1 + 8k ]
где ( N ) — количество частей после ( k )-го разреза.
Сначала у нас было 1, затем 9, 17, 25, 33 и так далее. Следовательно, общее количество частей можно записать как:
[ N = 1 + 8 \times k ]
где ( k ) — количество разрезов.
Теперь мы можем написать уравнение для поиска ( k ), чтобы узнать, когда ( N = 997 ):
[ 997 = 1 + 8k ]
[ 996 = 8k ]
[ k = \frac{996}{8} = 124.5 ]
Поскольку ( k ) должно быть целым числом (так как мы не можем сделать половину разреза), это указывает на то, что невозможно получить 997 частей, разрезая одну из наибольших частей на 9.
Таким образом, ответ: Нет, невозможно получить 997 частей.
