прямоугольном треугольнике M N K MNK ∠ N = 90 ° ∠N=90° , ∠ K = 6 0 ∘ ∠K=60 ∘ . Чему равно численное значение гипотенузы M K MK , если M K + N K = 24 , 78 MK+NK=24,78 мм? Запиши…

В данном задании нам нужно решить задачу, связанную с прямоугольным треугольником \(MNK\), где \(\angle N = 90^\circ\), \(\angle K = 60^\circ\), и известно, что \(MK + NK = 24,78\) мм. Нам необходимо найти длину гипотенузы \(MK\).

Шаг 1: Определение сторон треугольника

В прямоугольном треугольнике \(MNK\):

• \(MK\) — это гипотенуза,
• \(NK\) — противолежащая сторона к углу \(K\),
• \(MN\) — прилежащая сторона к углу \(K\).

Шаг 2: Используем соотношения тригонометрии

Известно, что:

• Угол \(K\) равен \(60^\circ\).
• Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения зависимостей между сторонами.

Из свойства прямоугольного треугольника:

• \(\sin K = \frac{NK}{MK}\)
• \(\cos K = \frac{MN}{MK}\)

Так как \(K = 60^\circ\), имеем:

• \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)

Шаг 3: Запишем уравнения для сторон

Обозначим:

• \(NK = x\)
• \(MK = h\)

Тогда: \[ MK + NK = 24,78 \quad \Rightarrow \quad h + x = 24,78 \quad \text{(1)} \]

Также, из тригонометрических функций: \[ \sin 60^\circ = \frac{x}{h} \quad \Rightarrow \quad x = h \cdot \sin 60^\circ = h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{(2)} \]

Шаг 4: Подставим значение \(x\) в уравнение (1)

Теперь подставим (2) в (1): \[ h + h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24,78 \] Соберём \(h\): \[ h \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 24,78 \] Теперь упростим. Сначала найдём \(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \] Подставляем в уравнение: \[ h \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 24,78 \] Теперь умножим обе стороны на \(2\): \[ h(2 + \sqrt{3}) = 49,56 \]

Шаг 5: Нахождение значения \(h\)

Теперь делим обе стороны на \(2 + \sqrt{3}\): \[ h = \frac{49,56}{2 + \sqrt{3}} \]

Оценим значение \(2 + \sqrt{3}\). Приблизительно \(\sqrt{3} \approx 1,732\), следовательно: \[ 2 + \sqrt{3} \approx 3,732 \] Теперь подставим это значение и посчитаем: \[ h \approx \frac{49,56}{3,732} \approx 13,28 \text{ мм} \]

Ответ

Таким образом, длина гипотенузы \(MK\): \[ \boxed{13,28} \]