В данном задании нам нужно решить задачу, связанную с прямоугольным треугольником (MNK), где (\angle N = 90^\circ), (\angle K = 60^\circ), и известно, что (MK + NK = 24,78) мм. Нам необходимо найти длину гипотенузы (MK).
Шаг 1: Определение сторон треугольника
В прямоугольном треугольнике (MNK):
- (MK) — это гипотенуза,
- (NK) — противолежащая сторона к углу (K),
- (MN) — прилежащая сторона к углу (K).
Шаг 2: Используем соотношения тригонометрии
Известно, что:
- Угол (K) равен (60^\circ).
- Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения зависимостей между сторонами.
Из свойства прямоугольного треугольника:
- (\sin K = \frac{NK}{MK})
- (\cos K = \frac{MN}{MK})
Так как (K = 60^\circ), имеем:
- (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2})
- (\cos 60^\circ = \frac{1}{2})
Шаг 3: Запишем уравнения для сторон
Обозначим:
Тогда:
[
MK + NK = 24,78 \quad \Rightarrow \quad h + x = 24,78 \quad \text{(1)}
]
Также, из тригонометрических функций:
[
\sin 60^\circ = \frac{x}{h} \quad \Rightarrow \quad x = h \cdot \sin 60^\circ = h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{(2)}
]
Шаг 4: Подставим значение (x) в уравнение (1)
Теперь подставим (2) в (1):
[
h + h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24,78
]
Соберём (h):
[
h \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 24,78
]
Теперь упростим. Сначала найдём (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}):
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
]
Подставляем в уравнение:
[
h \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 24,78
]
Теперь умножим обе стороны на (2):
[
h(2 + \sqrt{3}) = 49,56
]
Шаг 5: Нахождение значения (h)
Теперь делим обе стороны на (2 + \sqrt{3}):
[
h = \frac{49,56}{2 + \sqrt{3}}
]
Оценим значение (2 + \sqrt{3}). Приблизительно (\sqrt{3} \approx 1,732), следовательно:
[
2 + \sqrt{3} \approx 3,732
]
Теперь подставим это значение и посчитаем:
[
h \approx \frac{49,56}{3,732} \approx 13,28 \text{ мм}
]
Ответ
Таким образом, длина гипотенузы (MK):
[
\boxed{13,28}
]
