Бодрящий эффект, который оказывает кофе, объясняется действием входящего в его состав химического вещества — кофеина. Для приготовления холодного кофе со льдом — «фраппе» — в…
Бодрящий эффект, который оказывает кофе, объясняется действием входящего в его состав химического вещества — кофеина. Для приготовления холодного кофе со льдом — «фраппе» — в чашку налили кипящий кофе массой m1 = 300 г при температуре t1 = 100 °C и добавили туда лёд при температуре t0 = 0 °C. Когда лёд растаял, оказалось, что температура получившегося напитка t2 = 35 °C. Теплообменом напитка с окружающей средой и чашкой можно пренебречь. Удельные теплоёмкости воды и напитка одинаковы и равны с = 4200 Дж/(кг · °C), удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг. 1) Какое количество теплоты напиток отдал льду при охлаждении? 2) Какая масса льда была добавлена в напиток? 3) Во сколько раз уменьшилась концентрация кофеина в напитке? Концентрация кофеина — это отношение массы кофеина к массе всего напитка. Полученный ответ округлить до десятых долей.
Чтобы решить данную задачу, нам нужно воспользоваться законами термодинамики и теплопередачи. Давайте разберемся с каждым пунктом по порядку.
Дано:
- Масса кипящего кофе \( m_1 = 300 \, \text{г} = 0.3 \, \text{кг} \)
- Начальная температура кофе \( t_1 = 100 \, \text{°C} \)
- Температура льда \( t_0 = 0 \, \text{°C} \)
- Конечная температура напитка \( t_2 = 35 \, \text{°C} \)
- Удельная теплоемкость \( c = 4200 \, \text{Дж/(кг \cdot °C)} \)
- Удельная теплота плавления льда \( \lambda = 330 \, \text{кДж/кг} = 330000 \, \text{Дж/кг} \)
1) Какое количество теплоты напиток отдал льду при охлаждении?
Температура напитка изменилась с 100 °C до 35 °C. Это изменение температуры можно выразить как \(\Delta t = t_1 - t_2 = 100 - 35 = 65 \, \text{°C}\).
Количество теплоты \( Q \), которое отдал кофе при охлаждении, можно рассчитать по формуле:
\[ Q = m_1 \cdot c \cdot \Delta t \]
Теперь подставим известные значения:
\[ Q = 0.3 \, \text{кг} \cdot 4200 \, \text{Дж/(кг \cdot °C)} \cdot 65 \, \text{°C} \]
\[ Q = 0.3 \cdot 4200 \cdot 65 = 81900 \, \text{Дж} \]
Таким образом, кофе отдал \( Q_1 = 81900 \, \text{Дж} \) льду.
2) Какая масса льда была добавлена в напиток?
Количество теплоты, которое необходимо для растапливания льда, выражается как:
\[ Q_2 = m_0 \cdot \lambda \]
где \( m_0 \) — масса льда. Она является той массой, которую мы стремимся найти.
С учетом того, что все выделенное тепло от кофе пошло на плавление льда, равенство будет выглядеть следующим образом:
\[ Q_1 = Q_2 \]
Подставляем значения:
\[ 81900 \, \text{Дж} = m_0 \cdot 330000 \, \text{Дж/кг} \]
Теперь найдём массу льда \( m_0 \):
\[ m_0 = \frac{81900 \, \text{Дж}}{330000 \, \text{Дж/кг}} \approx 0.248 \, \text{кг} = 248 \, \text{г} \]
3) Во сколько раз уменьшилась концентрация кофеина в напитке?
Предположим, что кофеин содержится только в кипящем кофе. Концентрация кофеина до добавления льда:
\[ C_1 = \frac{m_{\text{кофеин}}}{m_{\text{напиток}}} \quad (\text{где } m_{\text{напиток}} = 0.3 \text{ кг (кофе)}) \]
После добавления льда (масса кофе + масса льда):
\[ C_2 = \frac{m_{\text{кофеин}}}{m_{\text{напиток}} + m_0} = \frac{m_{\text{кофеин}}}{0.3 + 0.248} \, \text{кг} \]
Теперь во сколько раз уменьшилась концентрация, спросим как отношение:
\[ \text{Уменьшение} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{0.3 + 0.248}{0.3} \]
Подставим значения:
\[ \text{Уменьшение} = \frac{0.3 + 0.248}{0.3} = \frac{0.548}{0.3} \approx 1.8267 \]
Округление до десятых:
\[ \text{Уменьшилась в } \approx 1.8 \text{ раз.} \]
Ответы:
- Кофе отдал 81900 Дж теплоты льду.
- Масса льда, добавленная в напиток, составляет 248 г.
- Концентрация кофеина в напитке уменьшилась примерно в 1.8 раз.
