Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность…

Чтобы решить задачу, давайте детально разберёмся с условиями и концепциями, связанными с вероятностью и независимостью событий.

Первое, что нужно сделать, — это определить события.

1. Событие А: "В первый раз выпал орёл" — это событие означает, что при первом броске монеты мы получили орла.
2. Событие B: "Решка выпала дважды" — событие, при котором на трёх бросках монеты мы получаем именно два раза решку.

Теперь мы будем анализировать эти события на независимость и посчитаем их вероятность.

а) Являются ли эти события независимыми?

События считаются независимыми, если выполнение одного из них не влияет на вероятность выполнения другого.

• Для проверки независимости событий мы можем использовать формулу:

  \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

где \( P(A \cap B) \) — вероятность того, что оба события происходят одновременно.

Шаг 1: Найдите вероятности событий.

• Вероятность события A (выпадение орла в первом броске): это событие может произойти с вероятностью \( P(A) = \frac{1}{2} \), так как у нас симметричная монета.

• Вероятность события B (выпадение решки дважды): Чтобы найти \( P(B) \), мы можем рассмотреть все возможные исходы при трёх бросках монеты. Общее количество исходов при 3 бросках = \( 2^3 = 8 \).

  Исходы, при которых решка выпадает 2 раза:

  1. Решка - Решка - Орёл (RRO)
  2. Решка - Орёл - Решка (ROR)
  3. Орёл - Решка - Решка (ORR)

  Таким образом, вероятность события B:

  \[ P(B) = \frac{3}{8} \]

Шаг 2: Найдите вероятность \( P(A \cap B) \).

Теперь найдём вероятность того, что в первом броске выпадает орёл, а затем дважды решка во втором и третьем бросках.

В данном случае, если первый бросок — орёл, то на оставшихся двух бросках нам нужно получить 2 решки. Однако, в ситуации трех бросков, это невозможно, так как мы уже получили один орёл. Таким образом,

\[ P(A \cap B) = 0 \]

Шаг 3: Проверка независимости.

Теперь применяем формулу:

\[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \]

Сравниваем:

\[ P(A \cap B) = 0 \quad \text{и} \quad P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{16} \]

Поскольку \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \), события не являются независимыми.

б) Найдите вероятность объединения этих событий.

Для нахождения вероятности объединения событий A и B используем формулу:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Подставим известные значения:

\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - 0 \]

Сначала приведём все вероятности к общему знаменателю (например, 8):

\[ P(A) = \frac{1}{2} = \frac{4}{8} \]

Теперь подставим:

\[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \]

Ответы:

а) События не являются независимыми.
б) Вероятность объединения этих событий составляет \( \frac{7}{8} \).