Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность объединения этих событий.

Чтобы решить задачу, давайте детально разберёмся с условиями и концепциями, связанными с вероятностью и независимостью событий. ### Первое, что нужно сделать, — это определить события. 1. **Событие А:** "В первый раз выпал орёл" — это событие означает, что при первом броске монеты мы получили орла. 2. **Событие B:** "Решка выпала дважды" — событие, при котором на трёх бросках монеты мы получаем именно два раза решку. Теперь мы будем анализировать эти события на независимость и посчитаем их вероятность. ### а) Являются ли эти события независимыми? События считаются независимыми, если выполнение одного из них не влияет на вероятность выполнения другого. - Для проверки независимости событий мы можем использовать формулу: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] где \( P(A \cap B) \) — вероятность того, что оба события происходят одновременно. **Шаг 1:** Найдите вероятности событий. - **Вероятность события A (выпадение орла в первом броске):** это событие может произойти с вероятностью \( P(A) = \frac{1}{2} \), так как у нас симметричная монета. - **Вероятность события B (выпадение решки дважды):** Чтобы найти \( P(B) \), мы можем рассмотреть все возможные исходы при трёх бросках монеты. Общее количество исходов при 3 бросках = \( 2^3 = 8 \). Исходы, при которых решка выпадает 2 раза: 1. Решка - Решка - Орёл (RRO) 2. Решка - Орёл - Решка (ROR) 3. Орёл - Решка - Решка (ORR) Таким образом, вероятность события B: \[ P(B) = \frac{3}{8} \] **Шаг 2:** Найдите вероятность \( P(A \cap B) \). Теперь найдём вероятность того, что в первом броске выпадает орёл, а затем дважды решка во втором и третьем бросках. В данном случае, если первый бросок — орёл, то на оставшихся двух бросках нам нужно получить 2 решки. Однако, в ситуации трех бросков, это невозможно, так как мы уже получили один орёл. Таким образом, \[ P(A \cap B) = 0 \] **Шаг 3:** Проверка независимости. Теперь применяем формулу: \[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \] Сравниваем: \[ P(A \cap B) = 0 \quad \text{и} \quad P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{16} \] Поскольку \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \), события **не являются независимыми**. ### б) Найдите вероятность объединения этих событий. Для нахождения вероятности объединения событий A и B используем формулу: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Подставим известные значения: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - 0 \] Сначала приведём все вероятности к общему знаменателю (например, 8): \[ P(A) = \frac{1}{2} = \frac{4}{8} \] Теперь подставим: \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \] ### Ответы: а) События не являются независимыми. б) Вероятность объединения этих событий составляет \( \frac{7}{8} \).