В треугольнике ABC угол C=60, угол B=90. Высота BB¹ равна 2 см.Найдите AB

Чтобы решить задачу, начнем с графического представления и анализа треугольника ABC.

1. Определим треугольник:

   • У нас есть треугольник ABC, где угол C равен 60°, а угол B равен 90°.
   • Из этого следует, что угол A равен 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

2. Свойства треугольника:

   • В треугольнике ABC угол B является прямым углом, поэтому треугольник ABC является прямоугольным.
   • Мы также знаем, что высота BB¹ проведена из вершины B на сторону AC.

3. Известные данные:

   • Высота BB¹ равна 2 см.

4. Найдем длину стороны AB:

   • В прямоугольном треугольнике ABC с углами 30°, 60° и 90° стороны пропорциональны:
     • противолежащая сторона углу 30° (в нашем случае это сторона AB) в два раза меньше гипотенузы (в нашей задаче AB — гипотенуза).
     • противолежащая сторона углу 60° (то есть сторона BC) равна \( \sqrt{3}/2 \) от гипотенузы.

   Для треугольника ABC:

   • Обозначим AB как \( c \) (гипотенуза),
   • Обозначим BC как \( a \) (противолежащая сторона углу 60°),
   • Обозначим AC как \( b \) (противолежащая сторона углу 30°).

   Из свойств прямоугольного треугольника: \[ h = b \cdot \sin(C) = b \cdot \sin(60°) = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (1) \] \[ h = a \cdot \sin(30°) = a \cdot \frac{1}{2} \quad (2) \] Поскольку обе формулы равны высоте \( h \) (высота BB¹), мы можем установить, что: \[ b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a \cdot \frac{1}{2} \] Из этого уравнения мы можем выразить: \[ b = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \quad (3) \]

5. Площадь треугольника: Площадь треугольника также можно выразить через высоту и основание: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot b \cdot BB¹ = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 2 = b \quad (4) \]

   Сравнивая (1) и (4): Подставим (3) в (4): \[ S = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

6. Используем свойства высот в прямоугольном треугольнике: Из общей формулы площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \] Соотношения высоты из (1): \[ S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 2 = c \]

7. Решение для AB: Мы знаем, что для треугольника ABC: \[ c = b + a = b + \sqrt{3}b = b(1 + \sqrt{3}) \]

   Подставляя \( b = 2 / \sin(30) \): В конечном итоге, если вычислить: \[ AB = 2 \cdot \sqrt{3} \]

Таким образом, длина стороны AB равна: \[ AB = 4 \text{ см} \]