Параллелограмм и его свойства (доказательств одного из них). Площадь параллелограмма 2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника. 3. Прямоугольник.…

1. Параллелограмм и его свойства (доказательство одного из них). Площадь параллелограмма.

Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Диагонали параллелограмма биссектрисы (делят друг друга пополам).

Доказательство: Рассмотрим параллелограмм ABCD. Надо доказать, что его противоположные стороны AB и CD равны.

1. Сначала проведем диагональ AC (соединяет вершины A и C).

2. Треугольники ABC и CDA:

   • Стороны AB и CD — это стороны параллелограмма, которые по определению равны.
   • Углы B и D — это внутренние углы параллелограмма, и они также равны, так как параллельные линии соседние углы образуют равные образующие углы.
   • Углы A и C — тоже равны по той же причине.

3. Таким образом, по признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) треугольники ABC и CDA равны.

4. Следовательно, по равенству треугольников, остается доказать равенство сторон, что и требуется.

Площадь параллелограмма: Формула площади параллелограмма: \[ S = a \cdot h \] где \( a \) — основание, \( h \) — высота, перпендикулярная к основанию.

2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника: Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника:

1. Если отрезок соединяет середины двух сторон треугольника, то этот отрезок параллелен третьей стороне и равен половине этой стороны.
2. Обозначим треугольник ABC, и пусть M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда:
   • MN || BC и MN = ½ BC.

Доказательство:

1. Проведем прямые через точки M и N, параллельные BC.
2. Эти прямые создают два треугольника: AMN и ABC.
3. Треугольники AMN и ABC имеют равные углы (по определению параллельных линий).
4. Значит, треугольники подобны.
5. Последовательно через подобие мы можем утверждать, что MN = ½ BC.

3. Прямоугольник. Свойство диагоналей прямоугольника. Формула площади прямоугольника.

Свойства диагоналей прямоугольника:

• Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в одной точке, деля друг друга пополам.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
2. Треугольники AOB и COD:
   • Стороны AB и CD равны.
   • Стороны AO и OC равны, так как O — точка пересечения диагоналей.
   • Угол AOB равен углу COD, так как противоположные углы равны.
3. Значит, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу.
4. Поэтому и диагонали равны: AC = BD.

Формула площади прямоугольника: Площадь прямоугольника: \[ S = a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон.

4. Треугольник. Формулы площади треугольника.

Формулы площади треугольника:

1. Общая формула для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \( a \) — основание, \( h \) — высота, проведенная к основанию.

2. Если известны все стороны треугольника (по формуле Герона): \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] где \( s = \frac{a+b+c}{2} \) — полупериметр.

3. Если известны две стороны и угол между ними: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон, C — угол между ними.

Эти формулы применяются для вычисления площади треугольника в зависимости от известных данных.