Параллелограмм и его свойства (доказательств одного из них). Площадь параллелограмма 2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника. 3. Прямоугольник. Свойство диагоналей прямоугольника. Формула площади прямоугольника 4. Треугольник. Формулы площади треугольника.

### 1. Параллелограмм и его свойства (доказательство одного из них). Площадь параллелограмма. **Свойства параллелограмма:** - Противоположные стороны параллелограмма равны. - Противоположные углы параллелограмма равны. - Диагонали параллелограмма биссектрисы (делят друг друга пополам). **Доказательство:** Рассмотрим параллелограмм ABCD. Надо доказать, что его противоположные стороны AB и CD равны. 1. Сначала проведем диагональ AC (соединяет вершины A и C). 2. Треугольники ABC и CDA: - Стороны AB и CD — это стороны параллелограмма, которые по определению равны. - Углы B и D — это внутренние углы параллелограмма, и они также равны, так как параллельные линии соседние углы образуют равные образующие углы. - Углы A и C — тоже равны по той же причине. 3. Таким образом, по признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) треугольники ABC и CDA равны. 4. Следовательно, по равенству треугольников, остается доказать равенство сторон, что и требуется. **Площадь параллелограмма:** Формула площади параллелограмма: \[ S = a \cdot h \] где \( a \) — основание, \( h \) — высота, перпендикулярная к основанию. ### 2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника. **Средняя линия треугольника:** Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. **Теорема о средней линии треугольника:** 1. Если отрезок соединяет середины двух сторон треугольника, то этот отрезок параллелен третьей стороне и равен половине этой стороны. 2. Обозначим треугольник ABC, и пусть M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда: - MN || BC и MN = ½ BC. **Доказательство:** 1. Проведем прямые через точки M и N, параллельные BC. 2. Эти прямые создают два треугольника: AMN и ABC. 3. Треугольники AMN и ABC имеют равные углы (по определению параллельных линий). 4. Значит, треугольники подобны. 5. Последовательно через подобие мы можем утверждать, что MN = ½ BC. ### 3. Прямоугольник. Свойство диагоналей прямоугольника. Формула площади прямоугольника. **Свойства диагоналей прямоугольника:** - Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в одной точке, деля друг друга пополам. **Доказательство:** 1. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. 2. Треугольники AOB и COD: - Стороны AB и CD равны. - Стороны AO и OC равны, так как O — точка пересечения диагоналей. - Угол AOB равен углу COD, так как противоположные углы равны. 3. Значит, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу. 4. Поэтому и диагонали равны: AC = BD. **Формула площади прямоугольника:** Площадь прямоугольника: \[ S = a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон. ### 4. Треугольник. Формулы площади треугольника. **Формулы площади треугольника:** 1. Общая формула для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \( a \) — основание, \( h \) — высота, проведенная к основанию. 2. Если известны все стороны треугольника (по формуле Герона): \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] где \( s = \frac{a+b+c}{2} \) — полупериметр. 3. Если известны две стороны и угол между ними: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон, C — угол между ними. Эти формулы применяются для вычисления площади треугольника в зависимости от известных данных.