разность двух натуральных чисел равна 15, а сумма их квадратов равна 533 найдите эти числа

Давайте решим задачу, в которой нам даны два натуральных числа, разность которых равна 15, а сумма их квадратов равна 533. Обозначим эти числа как \( x \) и \( y \).

Шаг 1: Запишем условия задачи

У нас есть две уравнения:

1. Разность: \( x - y = 15 \)
2. Сумма квадратов: \( x^2 + y^2 = 533 \)

Шаг 2: Выразим одно число через другое

Из первого уравнения можем выразить \( x \) через \( y \): \[ x = y + 15 \]

Шаг 3: Подставим это выражение во второе уравнение

Теперь подставим \( x \) во второе уравнение: \[ (y + 15)^2 + y^2 = 533 \]

Шаг 4: Раскроем скобки

Раскроем первое выражение: \[ (y^2 + 30y + 225) + y^2 = 533 \]

Шаг 5: Объединим похожие слагаемые

Сложим похожие члены: \[ 2y^2 + 30y + 225 = 533 \]

Шаг 6: Приведем уравнение к стандартному виду

Вычтем 533 из обеих сторон: \[ 2y^2 + 30y + 225 - 533 = 0 \] \[ 2y^2 + 30y - 308 = 0 \]

Шаг 7: Упростим уравнение

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить его: \[ y^2 + 15y - 154 = 0 \]

Шаг 8: Найдем корни квадратного уравнения

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-154) \] \[ D = 225 + 616 = 841 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{841}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-15 \pm 29}{2} \]

Шаг 9: Найдем два возможных значения для \( y \)

1. \( y_1 = \frac{14}{2} = 7 \)
2. \( y_2 = \frac{-44}{2} = -22 \) (отвергаем, так как \( y \) должно быть натуральным числом)

Таким образом, \( y = 7 \).

Шаг 10: Найдем \( x \)

Теперь можем найти \( x \) по выражению \( x = y + 15 \): \[ x = 7 + 15 = 22 \]

Ответ

Таким образом, два числа, которые мы ищем, это 7 и 22.

Проверка

1. Разность: \( 22 - 7 = 15 \) (верно)
2. Сумма квадратов: \( 22^2 + 7^2 = 484 + 49 = 533 \) (верно)

Задача решена верно!