Горизонтальный участок шоссе представляет собой дугу окружности радиуса R = 100 м с центральным углом α = 30°, переходящую в прямолинейный отрезок. Автомобиль со всеми ведущими…
Горизонтальный участок шоссе представляет собой дугу окружности радиуса R = 100 м с центральным углом α = 30°, переходящую в прямолинейный отрезок. Автомобиль со всеми ведущими колесами, стоявший в начале криволинейного участка, начинает разгоняться с постоянным тангенциальным ускорением. С какой максимальной по модулю скоростью v_max может выехать автомобиль на прямолинейный участок, если коэффициент трения между шинами автомобиля и полотном шоссе μ = 0,3?
Чтобы решить задачу, нам нужно найти максимальную скорость, с которой автомобиль может выехать на прямолинейный участок после прохождения криволинейного участка радиусом R с центральным углом α. Для этого мы будем использовать уравнения движения и понятия, связанные с центростремительным ускорением и силой трения.
Шаг 1: Определение максимальной силы, действующей на автомобиль
Когда автомобиль движется по дуге с радиусом R, на него действует центростремительное ускорение, которое можно выразить через скорость \( v \): \[ a_c = \frac{v^2}{R} \] где \( a_c \) — центростремительное ускорение.
Также на автомобиль действуют силы: сила веса (мг) и сила нормального давления (N). Сила трения \( F_t \) — это максимальная сила, с которой колеса могут сцепляться с дорогой, и определяется как: \[ F_t = \mu N \] где \( \mu \) — коэффициент трения.
Для того чтобы автомобиль не выскользнул с дороги при движении по дуге, центростремительная сила должна быть меньше или равна силе трения: \[ \frac{mv^2}{R} \leq \mu N \] где \( m \) — масса автомобиля.
Шаг 2: Поиск силы нормального давления
На горизонтальной поверхности нет вертикального ускорения, поэтому сила нормального давления равна силе тяжести: \[ N = mg \] Подставляем это значение в неравенство: \[ \frac{mv^2}{R} \leq \mu mg \]
Шаг 3: Упростим выражение
Упрощая уравнение, мы можем избавиться от массы \( m \) (так как она присутствует везде): \[ \frac{v^2}{R} \leq \mu g \]
Шаг 4: Выразим максимальную скорость
Переписываем это уравнение для \( v \): \[ v^2 \leq \mu g R \] \[ v \leq \sqrt{\mu g R} \]
Шаг 5: Подставим известные значения
Теперь подставим известные значения:
- \( \mu = 0,3 \)
- \( g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2 \)
- \( R = 100 \, \text{м} \)
Итак, у нас: \[ v \leq \sqrt{0,3 \cdot 9,81 \cdot 100} \] Произведем вычисления: \[ v \leq \sqrt{0,3 \cdot 981} = \sqrt{294,3} \approx 17,2 \, \text{м/с} \]
Ответ:
Таким образом, максимальная по модулю скорость, с которой автомобиль может выехать на прямолинейный участок, составляет approximately 17,2 м/с.
