y=-x2+4 и y=-x+4. найти S фигуры ограничениями
Чтобы найти площадь (S) фигуры, ограниченной кривыми \(y = -x^2 + 4\) и \(y = -x + 4\), начнем с того, что определим область, заключенную этими функциями.
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.
Для этого приравняем обе функции:
\[ -x^2 + 4 = -x + 4 \]
Переносим все на одну сторону уравнения:
\[ -x^2 + x + 4 - 4 = 0 \]
Упрощаем:
\[ -x^2 + x = 0 \]
Factor out \( x \):
\[ x(-x + 1) = 0 \]
Таким образом, у нас есть два корня:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad -x + 1 = 0 \implies x = 1. \]
Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждой точки:
Для \(x = 0\): \[ y = -0^2 + 4 = 4. \]
Для \(x = 1\): \[ y = -1^2 + 4 = 3. \]
Таким образом, точки пересечения: \((0, 4)\) и \((1, 3)\).
Шаг 2: Определим границы интегрирования.
Мы будем интегрировать от точки \(x = 0\) до \(x = 1\).
Шаг 3: Найдем площадь фигуры.
Площадь ограниченной области между двумя кривыми можно найти, используя определенный интеграл разности функций:
\[ S = \int_{0}^{1} (верхняя \: функция - нижняя \: функция) \, dx. \]
В нашем случае верхняя функция – это \(y = -x + 4\), а нижняя функция – это \(y = -x^2 + 4\):
\[ S = \int_{0}^{1} ( (-x + 4) - (-x^2 + 4) ) \, dx. \]
Упростим это выражение:
\[ S = \int_{0}^{1} (-x + 4 + x^2 - 4) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 - x) \, dx. \]
Шаг 4: Вычислим интеграл.
Теперь вычислим интеграл:
\[ \int(x^2 - x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C. \]
Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:
\[ S = \left[ \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right] - \left[ \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right]. \]
Это упрощается до:
\[ S = \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right]. \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}. \]
Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:
\[ S = \frac{1}{6}. \]
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна \( \frac{1}{6} \).
