Y=-x2+4 и y=-x+4. найти S фигуры ограничениями

Чтобы найти площадь (S) фигуры, ограниченной кривыми \(y = -x^2 + 4\) и \(y = -x + 4\), начнем с того, что определим область, заключенную этими функциями. **Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.** Для этого приравняем обе функции: \[ -x^2 + 4 = -x + 4 \] Переносим все на одну сторону уравнения: \[ -x^2 + x + 4 - 4 = 0 \] Упрощаем: \[ -x^2 + x = 0 \] Factor out \( x \): \[ x(-x + 1) = 0 \] Таким образом, у нас есть два корня: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad -x + 1 = 0 \implies x = 1. \] Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждой точки: 1. Для \(x = 0\): \[ y = -0^2 + 4 = 4. \] 2. Для \(x = 1\): \[ y = -1^2 + 4 = 3. \] Таким образом, точки пересечения: \((0, 4)\) и \((1, 3)\). **Шаг 2: Определим границы интегрирования.** Мы будем интегрировать от точки \(x = 0\) до \(x = 1\). **Шаг 3: Найдем площадь фигуры.** Площадь ограниченной области между двумя кривыми можно найти, используя определенный интеграл разности функций: \[ S = \int_{0}^{1} (верхняя \: функция - нижняя \: функция) \, dx. \] В нашем случае верхняя функция – это \(y = -x + 4\), а нижняя функция – это \(y = -x^2 + 4\): \[ S = \int_{0}^{1} ( (-x + 4) - (-x^2 + 4) ) \, dx. \] Упростим это выражение: \[ S = \int_{0}^{1} (-x + 4 + x^2 - 4) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 - x) \, dx. \] **Шаг 4: Вычислим интеграл.** Теперь вычислим интеграл: \[ \int(x^2 - x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C. \] Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1: \[ S = \left[ \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right] - \left[ \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right]. \] Это упрощается до: \[ S = \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right]. \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}. \] Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль: \[ S = \frac{1}{6}. \] **Ответ: Площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна \( \frac{1}{6} \).**