Найти седьмой член и сумму первых семи чисел геометрической прогрессии,если b1=-32,q=1/2
Для решения задачи рассмотри геометрическую прогрессию, заданную первым членом \( b_1 \) и знаменателем прогрессии \( q \).
Данные:
- Первый член прогрессии: \( b_1 = -32 \)
- Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{1}{2} \)
Шаг 1: Нахождение седьмого члена геометрической прогрессии
Формула для нахождения \( n \)-го члена геометрической прогрессии задана следующим образом:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
Для нахождения седьмого члена \( b_7 \):
\[ b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = -32 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} \]
Теперь найдем \( \left( \frac{1}{2} \right)^{6} \):
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \]
Теперь подставим это значение в формулу для \( b_7 \):
\[ b_7 = -32 \cdot \frac{1}{64} \]
Далее вычислим:
\[ b_7 = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2} = -0.5 \]
Шаг 2: Нахождение суммы первых семи членов геометрической прогрессии
Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
Где:
- \( n = 7 \)
- \( b_1 = -32 \)
- \( q = \frac{1}{2} \)
Теперь подставим значения в формулу:
\[ S_7 = -32 \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{7}}{1 - \frac{1}{2}} \]
Сначала найдем \( \left( \frac{1}{2} \right)^{7} \):
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128} \]
Теперь подставим это в формулу суммы:
\[ S_7 = -32 \cdot \frac{1 - \frac{1}{128}}{\frac{1}{2}} \]
Вычтем в числителе:
\[ 1 - \frac{1}{128} = \frac{128}{128} - \frac{1}{128} = \frac{127}{128} \]
Теперь подставим обратно:
\[ S_7 = -32 \cdot \frac{\frac{127}{128}}{\frac{1}{2}} = -32 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 = -32 \cdot \frac{254}{128} \]
Теперь упростим:
\[ S_7 = -32 \cdot \frac{254}{128} = -\frac{32 \cdot 254}{128} = -\frac{254}{4} = -63.5 \]
Ответы
- Седьмой член прогрессии: \( b_7 = -0.5 \)
- Сумма первых семи членов: \( S_7 = -63.5 \)
Теперь ты знаешь, как находить члены и сумму геометрической прогрессии. Если есть еще вопросы, задавай!
