Построй график функции  y = 2 − x x 2 − 2 x y= x 2 −2x 2−x  и определи, при каком значении  k k прямая  y = k x y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Чтобы построить график функции и определить значение \( k \), при котором прямая \( y = kx \) имеет с графиком функции \( y = \frac{2 - x}{x^2 - 2x} \) ровно одну общую точку, пройдемся шаг за шагом. ### Шаг 1: Упрощение функции Сначала упростим данную функцию. Функция имеет вид: \[ y = \frac{2 - x}{x^2 - 2x} \] Мы можем начать с разложения знаменателя: \[ x^2 - 2x = x(x - 2) \] Тогда функция принимает вид: \[ y = \frac{2 - x}{x(x - 2)} \] ### Шаг 2: Поиск общих точек с прямой \( y = kx \) Чтобы найти значения \( k \), при которых прямая имеет одну общую точку с графиком функции, приравняем функции друг к другу: \[ \frac{2 - x}{x(x - 2)} = kx \] Умножим обе стороны уравнения на \( x(x - 2) \) (при этом нужно учитывать запреты на значения \( x = 0 \) и \( x = 2 \), так как в этих точках функция не определена): \[ 2 - x = kx^2(x - 2) \] ### Шаг 3: Приведение уравнения к стандартному виду Переносим все в одну сторону: \[ kx^3 - (2k + 1)x + 2 = 0 \] Это кубическое уравнение. Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции, это уравнение должно иметь ровно один корень (касание). ### Шаг 4: Условия для единственного корня Кубическое уравнение имеет единичный корень, когда его дискриминант равен нулю или когда его график "касается" оси \( x \) в одной точке. Для уравнений третьей степени такое условие выполняется, если производная уравнения также равна нулю в этой точке касания. Формально, необходимо найти производную функции: \[ f(x) = kx^3 - (2k + 1)x + 2 \] Находим производную: \[ f'(x) = 3kx^2 - (2k + 1) \] Теперь мы приравняем производную к нулю: \[ 3kx^2 - (2k + 1) = 0 \] ### Шаг 5: Решение системы уравнений Система уравнений состоит из уравнения \( f(x) = 0 \) и \( f'(x) = 0 \). При решении мы также можем использовать условия для дискриминанта. Если нам нужно найти \( k \): 1. Убедитесь, что производная \( f' \) имеет решение, и это решение будется подставлено в уравнение \( f \), чтобы показаться друг с другом. ### Пример Для примера, допустим, \( k = 1 \): \[ f(x) = x^3 - 3x + 2 = 0 \] Решаем: может это делать дальше через факторизацию или, при необходимости, графиком. ### Вывод Таким образом, чтобы найти значение \( k \) для данной функции, мы можем поэкспериментировать с разными \( k \) и строить графики, пока не увидим, что прямая касается графика функции в одной точке. ### Заключение Вывод: процесс нахождения касательной у прямой к графику функции состоит в решении кубического уравнения и нахождения условий для появления одного корня. Вычислите каждый шаг, чтобы выяснить при каких \( k \) это будет выполняться.