Для решения данной задачи начнем с рассмотрения правильной четырехугольной призмы. Давайте разобьем ее на составляющие и поэтапно решим задачу.
Шаг 1: Определение параметров призмы
Мы знаем, что:
- Сторона основания правильной четырехугольной призмы (квадрата) равна 4. Это означает, что площадь основания ( S_{\text{осн}} ) призмы равна:
[
S_{\text{осн}} = a^2 = 4^2 = 16
]
(где ( a ) — длина стороны квадрата).
Шаг 2: Определение высоты призмы
Далее, нам дано, что тангенс угла ( \theta ) между диагональю призмы и плоскостью основания равен ( \sqrt{5} ). Тангенс угла можно выразить через высоту призмы ( h ) и длину диагонали основания (квадрата).
Длина диагонали основания ( d ) равна:
[
d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}
]
Теперь используем определение тангенса:
[
\tan(\theta) = \frac{h}{d}
]
Подставляем значение тангенса и длину диагонали:
[
\sqrt{5} = \frac{h}{4\sqrt{2}}
]
Теперь выразим ( h ):
[
h = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{10}
]
Шаг 3: Определение площади сечения призмы
Сечение, проходящее через параллельные диагонали двух противоположных боковых граней, будет прямоугольником, и его длина равна длине диагонали основания, а высота равна ( h ).
Площадь сечения ( S_{\text{сек}} ) равна:
[
S_{\text{сек}} = \text{длина} \times \text{высота} = d \times h = (4\sqrt{2}) \times (4\sqrt{10})
]
Посчитаем это:
[
S_{\text{сек}} = 16 \cdot \sqrt{20} = 16 \cdot 2\sqrt{5} = 32\sqrt{5}
]
Ответ
Таким образом, площадь сечения, проходящего через параллельные диагонали двух противоположных боковых граней призмы, равна ( 32\sqrt{5} ).
