Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 4, тангенс угла между диагональю призмы и плос-костью основания равен sqrt(5) Найдите площадь сечения, проходящего через…

Для решения данной задачи начнем с рассмотрения правильной четырехугольной призмы. Давайте разобьем ее на составляющие и поэтапно решим задачу.

Шаг 1: Определение параметров призмы

Мы знаем, что:

• Сторона основания правильной четырехугольной призмы (квадрата) равна 4. Это означает, что площадь основания \( S_{\text{осн}} \) призмы равна: \[ S_{\text{осн}} = a^2 = 4^2 = 16 \] (где \( a \) — длина стороны квадрата).

Шаг 2: Определение высоты призмы

Далее, нам дано, что тангенс угла \( \theta \) между диагональю призмы и плоскостью основания равен \( \sqrt{5} \). Тангенс угла можно выразить через высоту призмы \( h \) и длину диагонали основания (квадрата).

Длина диагонали основания \( d \) равна: \[ d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \]

Теперь используем определение тангенса: \[ \tan(\theta) = \frac{h}{d} \] Подставляем значение тангенса и длину диагонали: \[ \sqrt{5} = \frac{h}{4\sqrt{2}} \] Теперь выразим \( h \): \[ h = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{10} \]

Шаг 3: Определение площади сечения призмы

Сечение, проходящее через параллельные диагонали двух противоположных боковых граней, будет прямоугольником, и его длина равна длине диагонали основания, а высота равна \( h \).

Площадь сечения \( S_{\text{сек}} \) равна: \[ S_{\text{сек}} = \text{длина} \times \text{высота} = d \times h = (4\sqrt{2}) \times (4\sqrt{10}) \]

Посчитаем это: \[ S_{\text{сек}} = 16 \cdot \sqrt{20} = 16 \cdot 2\sqrt{5} = 32\sqrt{5} \]

Ответ

Таким образом, площадь сечения, проходящего через параллельные диагонали двух противоположных боковых граней призмы, равна \( 32\sqrt{5} \).