21. Катер прошёл от пункта A A до пункта B B , расстояние между которыми составляет 72 72 км, пробыл в пункте B B 30 30 минут и вернулся обратно в пункт A A через 7 , 5 7,5 часов…

Для решения этой задачи нам необходимо определить скорость течения реки на основе данных о катере, его пути и времени нахождения в пункте B.

Дано:

• Расстояние от A до B = 72 км
• Время, проведенное в пункте B = 30 минут (0,5 часа)
• Общее время от отплытия из A до возвращения обратно в A = 7,5 часов
• Собственная скорость катера (без учета течения) = 21 км/ч

Необходимые шаги:

1. Определим общее время в пути:
   Общее время (7,5 часов) включает время в пути от A до B, время в пункте B и время обратного пути от B до A.

   • Время в пути (от A до B + от B до A):
     Обозначим время в пути от A до B как \( t_1 \) и время в пути от B до A как \( t_2 \).

   Тогда: \[ t_1 + t_2 + 0,5 = 7,5 \] \[ t_1 + t_2 = 7,5 - 0,5 = 7 \text{ часов} \]

2. Определим время хода от A до B:
   При движении в сторону течения скорость катера будет составлять \( v_{катера} + v_{течения} \), а при движении против течения - \( v_{катера} - v_{течения} \).

   Время в пути от A до B: \[ t_1 = \frac{72}{21 + v_{течения}} \] Время в пути от B до A: \[ t_2 = \frac{72}{21 - v_{течения}} \]

3. Составим уравнение для времени в пути: С учетом найденных значений, мы можем подставить в уравнение: \[ \frac{72}{21 + v_{течения}} + \frac{72}{21 - v_{течения}} = 7 \]

4. Упростим уравнение:
   Умножим обе части уравнения на \( (21 + v_{течения})(21 - v_{течения}) \) для устранения знаменателей: \[ 72(21 - v_{течения}) + 72(21 + v_{течения}) = 7(21 + v_{течения})(21 - v_{течения}) \]

   Раскроем скобки: \[ 72 \cdot 21 - 72v_{течения} + 72 \cdot 21 + 72v_{течения} = 7(441 - v_{течения}^2) \] \[ 144 \cdot 21 = 7 \cdot 441 - 7v_{теч.}^2 \] \[ 3024 = 3087 - 7v_{течения}^2 \] Переносим все, кроме \( v_{течения}^2 \), в одну сторону: \[ 7v_{течения}^2 = 3087 - 3024 \] \[ 7v_{течения}^2 = 63 \] Делим обе стороны на 7: \[ v_{течения}^2 = 9 \] Тогда: \[ v_{течения} = 3 \, \text{км/ч} \]

Ответ:

Скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Таким образом, мы рассмотрели каждый шаг задачи, начиная от анализа времени и пути до расчета скорости течения реки.