В прямоугольнике
M
N
K
L
MNKL точки
Q
Q,
R
R,
S
S и
T
T являются серединами его сторон. Чему равен периметр четырёхугольника
Q
R
S
T
QRST, если диагональ прямоугольника
M
N
K
L
MNKL равна
46
,
4
46,4 см?
Для решения задачи начнем с понимания, что нам требуется найти периметр четырехугольника \( QRST \), который образуется соединением середин сторон прямоугольника \( MNKL \).
### Шаг 1: Определим координаты вершин прямоугольника
Предположим, что наш прямоугольник \( MNKL \) расположен в координатной плоскости следующим образом:
- \( M = (0, 0) \)
- \( N = (a, 0) \)
- \( K = (a, b) \)
- \( L = (0, b) \)
Здесь \( a \) и \( b \) — это длины сторон прямоугольника.
### Шаг 2: Найдем длины сторон и диагонали
Длина диагонали в прямоугольнике может быть найдена по теореме Пифагора:
\[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
По условию, диагональ равна \( 46,4 \) см, то есть:
\[
\sqrt{a^2 + b^2} = 46,4
\]
### Шаг 3: Определим координаты точек середины
Теперь найдем координаты точек \( Q, R, S, T \):
- \( Q \) — середина стороны \( MN \): \[ Q = \left(\frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \]
- \( R \) — середина стороны \( NK \): \[ R = \left(a, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(a, \frac{b}{2}\right) \]
- \( S \) — середина стороны \( KL \): \[ S = \left(\frac{0 + a}{2}, b\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right) \]
- \( T \) — середина стороны \( LM \): \[ T = \left(0, \frac{b + 0}{2}\right) = \left(0, \frac{b}{2}\right) \]
### Шаг 4: Найдем длины сторон четырёхугольника \( QRST \)
Теперь нам нужно найти длины сторон четырехугольника \( QRST \):
1. Длина \( QR \):
\[
QR = \sqrt{ \left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 } = \sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{1}{2} \cdot 46,4 = 23,2 \, \text{см}
\]
2. Длина \( RS \):
\[
RS = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + \left(b - \frac{b}{2}\right)^2 } = \sqrt{ \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23,2 \, \text{см}
\]
3. Длина \( ST \):
\[
ST = \sqrt{ \left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - b\right)^2 } = \sqrt{ \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23,2 \, \text{см}
\]
4. Длина \( TQ \):
\[
TQ = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2}\right)^2 } = \sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23,2 \, \text{см}
\]
### Шаг 5: Находим периметр четырехугольника \( QRST \)
Теперь мы можем вычислить периметр \( P \) четырехугольника \( QRST \):
\[
P = QR + RS + ST + TQ = 23,2 + 23,2 + 23,2 + 23,2 = 4 \times 23,2 = 92,8 \, \text{см}
\]
### Ответ
Периметр четырехугольника \( QRST \) равен \( 92,8 \) см.
