В прямоугольнике M N K L MNKL точки Q Q , R R , S S и T T являются серединами его сторон. Чему равен периметр четырёхугольника Q R S T QRST , если диагональ прямоугольника M N K L…

Для решения задачи начнем с понимания, что нам требуется найти периметр четырехугольника \( QRST \), который образуется соединением середин сторон прямоугольника \( MNKL \).

Шаг 1: Определим координаты вершин прямоугольника

Предположим, что наш прямоугольник \( MNKL \) расположен в координатной плоскости следующим образом:

• \( M = (0, 0) \)
• \( N = (a, 0) \)
• \( K = (a, b) \)
• \( L = (0, b) \)

Здесь \( a \) и \( b \) — это длины сторон прямоугольника.

Шаг 2: Найдем длины сторон и диагонали

Длина диагонали в прямоугольнике может быть найдена по теореме Пифагора: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] По условию, диагональ равна \( 46,4 \) см, то есть: \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 46,4 \]

Шаг 3: Определим координаты точек середины

Теперь найдем координаты точек \( Q, R, S, T \):

• \( Q \) — середина стороны \( MN \): \[ Q = \left(\frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \]
• \( R \) — середина стороны \( NK \): \[ R = \left(a, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(a, \frac{b}{2}\right) \]
• \( S \) — середина стороны \( KL \): \[ S = \left(\frac{0 + a}{2}, b\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right) \]
• \( T \) — середина стороны \( LM \): \[ T = \left(0, \frac{b + 0}{2}\right) = \left(0, \frac{b}{2}\right) \]

Шаг 4: Найдем длины сторон четырёхугольника \( QRST \)

Теперь нам нужно найти длины сторон четырехугольника \( QRST \):

1. Длина \( QR \): \[ QR = \sqrt{ \left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 } = \sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{1}{2} \cdot 46,4 = 23,2 \, \text{см} \]

2. Длина \( RS \): \[ RS = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + \left(b - \frac{b}{2}\right)^2 } = \sqrt{ \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23,2 \, \text{см} \]

3. Длина \( ST \): \[ ST = \sqrt{ \left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - b\right)^2 } = \sqrt{ \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23,2 \, \text{см} \]

4. Длина \( TQ \): \[ TQ = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2}\right)^2 } = \sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23,2 \, \text{см} \]

Шаг 5: Находим периметр четырехугольника \( QRST \)

Теперь мы можем вычислить периметр \( P \) четырехугольника \( QRST \): \[ P = QR + RS + ST + TQ = 23,2 + 23,2 + 23,2 + 23,2 = 4 \times 23,2 = 92,8 \, \text{см} \]

Ответ

Периметр четырехугольника \( QRST \) равен \( 92,8 \) см.