Вероятность успешного запуска стартапа удовлетворяющего требованиям программы равна 0.5. В программе участвуют 5 стартапов. Случайная величина Y - число стартапов, удовлетворяющих…

Эта задача относится к области теории вероятностей и описывает ситуацию, в которой применяется биномиальное распределение. Давайте разберёмся с решением по шагам.

Параметры задачи

У нас есть:

• Вероятность успеха (удовлетворяющего требования) для каждого стартапа, которая равна \( p = 0.5 \).
• Число стартапов \( n = 5 \).
• Нам нужно найти вероятность успеха ровно 3 стартапов \( k = 3 \).

Формула биномиального распределения

Вероятность того, что из \( n \) независимых испытаний (в нашем случае запусков стартапов) успех произойдёт ровно \( k \) раз, вычисляется по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, вычисляемый как \( C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} \),
• \( p^k \) — вероятность успеха возводится в степень \( k \),
• \( (1 - p)^{n - k} \) — вероятность неуспеха возводится в степень \( (n - k) \).

Применение формулы

1. Сначала посчитаем биномиальный коэффициент \( C(5, 3) \):

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

2. Теперь подставим все значения в формулу:

\[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (1 - 0.5)^{5 - 3} \]

3. Подсчитаем вероятности:

\[ P(X = 3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 \]

\[ = 10 \cdot (0.5)^{3 + 2} \]

\[ = 10 \cdot (0.5)^5 \]

\[ = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

Ответ

Вероятность того, что успешными будут 3 из 5 стартапов, равна \( \frac{5}{16} \) или приблизительно 0.3125 (31.25%).

Заключение

Таким образом, мы выяснили, что задача решается с использованием биномиального распределения, и мы аккуратно применили формулы для нахождения искомой вероятности. Если у вас есть вопросы по каждому из шагов или по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!