Решим задачу с помощью биномиального распределения.
Мы знаем, что вероятность положительного результата лечения ( p = 0,78 ) и общее количество участников ( n = 6 ). Необходимо найти вероятность того, что в 3 случаях метод даст положительный результат ( k = 3 ).
1. Вероятность получения положительного результата в 3 случаях
Для расчёта вероятности использования биномиальной формулы:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — число сочетаний,
- ( p^k ) — вероятность успеха,
- ( (1 - p)^{n - k} ) — вероятность неудачи.
Шаг 1: Вычисляем число сочетаний ( C(n, k) )
Число сочетаний ( C(n, k) ) вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
Подставим значения:
[
C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6 - 3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20
]
Шаг 2: Подставим все значения в формулу вероятности
Теперь подставляем ( n = 6 ), ( k = 3 ), ( p = 0,78 ):
[
P(X = 3) = C(6, 3) \cdot (0,78)^3 \cdot (1 - 0,78)^{6 - 3}
]
[
= 20 \cdot (0,78)^3 \cdot (0,22)^3
]
Теперь считаем ( (0,78)^3 ) и ( (0,22)^3 ):
[
(0,78)^3 \approx 0,456976
]
[
(0,22)^3 \approx 0,010648
]
Теперь подставим эти значения в формулу:
[
P(X = 3) \approx 20 \cdot 0,456976 \cdot 0,010648 \approx 20 \cdot 0,004865 \approx 0,0973
]
Таким образом, вероятность того, что метод даст положительный результат в 3 случаях, примерно равна ( 0,0973 ) или ( 9,73% ).
2. Математическое ожидание и дисперсия
Теперь найдем математическое ожидание ( E(X) ) и дисперсию ( D(X) ) для биномиального распределения.
Математическое ожидание
Формула для математического ожидания:
[
E(X) = n \cdot p
]
Подставим:
[
E(X) = 6 \cdot 0,78 = 4,68
]
Дисперсия
Формула для дисперсии:
[
D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)
]
Подставим:
[
D(X) = 6 \cdot 0,78 \cdot 0,22 \approx 6 \cdot 0,1716 \approx 1,0296
]
Итоги
- Вероятность того, что метод даст положительный результат в 3 случаях: ( \approx 0,0973 ) или ( 9,73% ).
- Математическое ожидание: ( 4,68 ).
- Дисперсия: ( 1,0296 ).
Таким образом, мы подробно разобрали задачу, выполнили расчёты и получили необходимые результаты.
