В лаборатории экспериментально разрабатывают новый метод лечения, который даëт положительный результат с вероятнлстью 0,78. В опыте принимают участие 6 больных. Найди вероятность…

Решим задачу с помощью биномиального распределения.

Мы знаем, что вероятность положительного результата лечения \( p = 0,78 \) и общее количество участников \( n = 6 \). Необходимо найти вероятность того, что в 3 случаях метод даст положительный результат \( k = 3 \).

1. Вероятность получения положительного результата в 3 случаях

Для расчёта вероятности использования биномиальной формулы: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где:

• \( C(n, k) \) — число сочетаний,
• \( p^k \) — вероятность успеха,
• \( (1 - p)^{n - k} \) — вероятность неудачи.

Шаг 1: Вычисляем число сочетаний \( C(n, k) \)

Число сочетаний \( C(n, k) \) вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

Подставим значения: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6 - 3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \]

Шаг 2: Подставим все значения в формулу вероятности

Теперь подставляем \( n = 6 \), \( k = 3 \), \( p = 0,78 \): \[ P(X = 3) = C(6, 3) \cdot (0,78)^3 \cdot (1 - 0,78)^{6 - 3} \] \[ = 20 \cdot (0,78)^3 \cdot (0,22)^3 \]

Теперь считаем \( (0,78)^3 \) и \( (0,22)^3 \): \[ (0,78)^3 \approx 0,456976 \] \[ (0,22)^3 \approx 0,010648 \]

Теперь подставим эти значения в формулу: \[ P(X = 3) \approx 20 \cdot 0,456976 \cdot 0,010648 \approx 20 \cdot 0,004865 \approx 0,0973 \]

Таким образом, вероятность того, что метод даст положительный результат в 3 случаях, примерно равна \( 0,0973 \) или \( 9,73\% \).

2. Математическое ожидание и дисперсия

Теперь найдем математическое ожидание \( E(X) \) и дисперсию \( D(X) \) для биномиального распределения.

Математическое ожидание

Формула для математического ожидания: \[ E(X) = n \cdot p \] Подставим: \[ E(X) = 6 \cdot 0,78 = 4,68 \]

Дисперсия

Формула для дисперсии: \[ D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \] Подставим: \[ D(X) = 6 \cdot 0,78 \cdot 0,22 \approx 6 \cdot 0,1716 \approx 1,0296 \]

Итоги

1. Вероятность того, что метод даст положительный результат в 3 случаях: \( \approx 0,0973 \) или \( 9,73\% \).
2. Математическое ожидание: \( 4,68 \).
3. Дисперсия: \( 1,0296 \).

Таким образом, мы подробно разобрали задачу, выполнили расчёты и получили необходимые результаты.