Создатель конуса 6 см, угол при вершине осевого сечения 60°. Найдите объем конуса. Боковое ребро прямоугольной пирамиды равно 4 м и составляет с высотой пирамиды угол 300°. Найдите объём пирамиды. Боковое ребро вертикальной призмы равно 10 см, а ее объем 300 см³. Основание призмы — прямоугольный треугольник со стороной 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для нахождения объема конуса сначала найдем его высоту. Так как у нас дан угол при вершине осевого сечения равный 60°, то у нас образуется прямоугольный треугольник, в котором сторона, противолежащая данному углу, будет равна радиусу конуса (3 см), а высоте конуса - высота треугольника. Используя тригонометрию прямоугольных треугольников, находим, что высота конуса равна 3 * √3 см. Теперь, для нахождения объема конуса, воспользуемся формулой объема конуса: V = (1/3) * π * r^2 * h, где r - радиус конуса, а h - его высота. Подставив значения, получим: V = (1/3) * π * 3^2 * 3 * √3 = 9π * √3 см³. Теперь перейдем к пирамиде. Для начала найдем высоту этой пирамиды. У нас уже есть боковое ребро, равное 4 м, и угол, который оно составляет с высотой пирамиды, равный 30° (или 300°). Используя ту же логику с тригонометрией, найдем, что высота пирамиды равна 4 * tg(30°) = 4 * √3 метра. Теперь, для нахождения объема пирамиды, воспользуемся формулой V = (1/3) * S_osn * h, где S_osn - площадь основания пирамиды, а h - ее высота. Поскольку основание пирамиды прямоугольный треугольник, его площадь вычисляется как (1/2) * a * b, где a и b - катеты треугольника (12 см each). Таким образом, S_osn = (1/2) * 12 * 6 = 36 см². Теперь, подставив значения, получаем: V = (1/3) * 36 * 4 * √3 = 48√3 см³. Теперь перейдем к вертикальной призме. Для нахождения площади боковой поверхности призмы воспользуемся формулой: S = П * l * h, где l - боковое ребро, а h - высота призмы. Мы уже знаем боковое ребро и объем призмы, а также сторону прямоугольного треугольника. Выразим высоту призмы через известные данные: V = S_osn * h => 300 = 36 * h => h = 300 / 36 = 25/3 см. Теперь подставим все данные в формулу и найдем площадь боковой поверхности призмы: S = 2 * П * 10 * 25/3 = 500π/3 см². Таким образом, площадь боковой поверхности вертикальной призмы равна 500π/3 см².