Для решения данной задачи будем использовать теорию вероятностей, а именно распределение Пуассона, которое хорошо подходит для моделирования количества событий (в нашем случае - остановок на светофорах) в фиксированном интервале времени, в условиях, когда события независимы.
Шаг 1: Определить параметры задачи
- У нас есть 7 светофоров (N = 7).
- Мы хотим узнать вероятность того, что Саша остановится 4 раза.
Для применения распределения Пуассона нам нужно определить среднее количество остановок, которое мы обозначим как ( \lambda ). Так как у нас 7 светофоров, можно предположить, что в среднем Саша останавливается ( \lambda = 7 ) раз за определённый промежуток времени, если каждый светофор работает независимо и в среднем 1 раз работает в течение этого времени.
Шаг 2: Формула распределения Пуассона
Вероятность того, что произойдёт ровно ( k ) событий (в нашем случае ( k = 4 )) в распределении Пуассона определяется формулой:
[
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
]
где:
- ( \lambda ) - среднее число событий (остановок),
- ( e ) - основание натурального логарифма (приблизительно 2.71828),
- ( k ) - число интересующих нас событий (остановок).
Шаг 3: Подставляем значения
В нашем случае:
- ( \lambda = 7 )
- ( k = 4 )
- ( e ) ≈ 2.71828
Теперь подставим значения в формулу:
[
P(X = 4) = \frac{7^4 \cdot e^{-7}}{4!}
]
Шаг 4: Вычисления
- Вычислим ( 7^4 ):
[
7^4 = 2401
]
- Вычеслим ( e^{-7} ):
[
e^{-7} ≈ \frac{1}{1096.633158} ≈ 0.000911881
]
- Рассчитаем ( 4! ) (факториал 4):
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
- Теперь подставим все вычисленные значения в формулу:
[
P(X = 4) = \frac{2401 \cdot 0.000911881}{24}
]
- Выполним умножение и деление:
[
P(X = 4) = \frac{2.1909}{24} ≈ 0.091287
]
Заключение
Таким образом, вероятность того, что Саша остановится 4 раза при прохождении 7 светофоров, составляет примерно 0.0913 или 9.13%.
