Саша движется на автомобиле по дороге, где установлено N-ое количество независимо работающих светофоров. Каждый светофор чередует красный и зелёный сигналы с определëнной…
Саша движется на автомобиле по дороге, где установлено N-ое количество независимо работающих светофоров. Каждый светофор чередует красный и зелёный сигналы с определëнной переодичностью. Пусть количество остановок на этой улице будет случайной величиной X, а N = 7. Используя эту информацию, найди вероятность того, что Саша остановится 4 раза.
Для решения данной задачи будем использовать теорию вероятностей, а именно распределение Пуассона, которое хорошо подходит для моделирования количества событий (в нашем случае - остановок на светофорах) в фиксированном интервале времени, в условиях, когда события независимы.
Шаг 1: Определить параметры задачи
- У нас есть 7 светофоров (N = 7).
- Мы хотим узнать вероятность того, что Саша остановится 4 раза.
Для применения распределения Пуассона нам нужно определить среднее количество остановок, которое мы обозначим как \( \lambda \). Так как у нас 7 светофоров, можно предположить, что в среднем Саша останавливается \( \lambda = 7 \) раз за определённый промежуток времени, если каждый светофор работает независимо и в среднем 1 раз работает в течение этого времени.
Шаг 2: Формула распределения Пуассона
Вероятность того, что произойдёт ровно \( k \) событий (в нашем случае \( k = 4 \)) в распределении Пуассона определяется формулой:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
где:
- \( \lambda \) - среднее число событий (остановок),
- \( e \) - основание натурального логарифма (приблизительно 2.71828),
- \( k \) - число интересующих нас событий (остановок).
Шаг 3: Подставляем значения
В нашем случае:
- \( \lambda = 7 \)
- \( k = 4 \)
- \( e \) ≈ 2.71828
Теперь подставим значения в формулу:
\[ P(X = 4) = \frac{7^4 \cdot e^{-7}}{4!} \]
Шаг 4: Вычисления
- Вычислим \( 7^4 \):
\[ 7^4 = 2401 \]
- Вычеслим \( e^{-7} \):
\[ e^{-7} ≈ \frac{1}{1096.633158} ≈ 0.000911881 \]
- Рассчитаем \( 4! \) (факториал 4):
\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
- Теперь подставим все вычисленные значения в формулу:
\[ P(X = 4) = \frac{2401 \cdot 0.000911881}{24} \]
- Выполним умножение и деление:
\[ P(X = 4) = \frac{2.1909}{24} ≈ 0.091287 \]
Заключение
Таким образом, вероятность того, что Саша остановится 4 раза при прохождении 7 светофоров, составляет примерно 0.0913 или 9.13%.
